Pole i bok BC z dwóch boków i kąta między nimi

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: wzór na pole z sinusem i twierdzenie cosinusów

1. Kąt $60^{\circ }$ leży między bokami $\mathsf{AB}$ i $\mathsf{AC}$ - to układ bok-kąt-bok, w którym pole liczymy ze wzoru z sinusem, a trzeci bok z twierdzenia cosinusów. Obie wartości korzystają z tych samych danych, ale liczy się je niezależnie.
2. Krok 1. Dane
3. Znamy dwa boki i kąt zawarty między nimi.
4. $|\mathsf{AB}|=8\sqrt{2},|\mathsf{AC}|=8\sqrt{2},|\angle \mathsf{CAB}|={60}^{\circ }$
5. Krok 2A. Pole trójkąta
6. wzór z sinusem kąta między bokami
7. $\mathsf{P}=\frac{1}{2}\cdot |\mathsf{AB}|\cdot |\mathsf{AC}|\cdot \sin \alpha$
8. wstawiamy długości obu boków i miarę kąta między nimi
9. $\mathsf{P}=\frac{1}{2}\cdot 8\sqrt{2}\cdot 8\sqrt{2}\cdot \sin 60^{\circ }$
10. wartość sinusa kąta 60 stopni odczytujemy z tablicy funkcji trygonometrycznych
11. $\mathsf{P}=\frac{1}{2}\cdot 8\sqrt{2}\cdot 8\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$
12. pierwiastek razy taki sam pierwiastek daje liczbę podpierwiastkową, czyli 2
13. $\mathsf{P}=\frac{128\sqrt{3}}{4}$
14. licznik i mianownik dzielimy przez ich największy wspólny dzielnik, czyli 4
15. $\mathsf{P}=\boxed{32\sqrt{3}}$
16. Krok 2B. Twierdzenie cosinusów
17. bok $\mathsf{BC}$ leży naprzeciw danego kąta
18. $|\mathsf{BC}{|}^2=|\mathsf{AB}{|}^2+|\mathsf{AC}{|}^2-2\cdot |\mathsf{AB}|\cdot |\mathsf{AC}|\cdot \cos \alpha$
19. twierdzenie cosinusów wiąże bok leżący naprzeciw kąta z dwoma pozostałymi bokami
20. $|\mathsf{BC}{|}^2=(8\sqrt{2}{)}^2+(8\sqrt{2}{)}^2-2\cdot 8\sqrt{2}\cdot 8\sqrt{2}\cdot \cos {60}^{\circ }$
21. kwadrat iloczynu liczby i pierwiastka: współczynnik podnosimy do kwadratu, a pierwiastek zastępujemy liczbą podpierwiastkową 2
22. $|\mathsf{BC}{|}^2=128+128-2\cdot 8\sqrt{2}\cdot 8\sqrt{2}\cdot \cos 60^{\circ }$
23. cosinus kąta ostrego 60 stopni jest dodatni i równy jednej drugiej
24. $|\mathsf{BC}{|}^2=128+128-2\cdot 8\sqrt{2}\cdot 8\sqrt{2}\cdot \frac{1}{2}$
25. podwojony cosinus 60 stopni daje jeden, więc od sumy kwadratów odejmujemy sam iloczyn boków
26. $|\mathsf{BC}{|}^2=128+128-128$
27. dodajemy i odejmujemy liczby, zostaje kwadrat szukanego boku
28. $|\mathsf{BC}{|}^2=\boxed{128}$
29. Krok 3. Odpowiedzi
30. $\mathsf{P}=32\sqrt{3}|\mathsf{BC}{|}^2=128$
31. długość boku jest dodatnia, więc bierzemy pierwiastek arytmetyczny z kwadratu
32. $|\mathsf{BC}|=8\sqrt{2}=8\sqrt{2}$
33. pierwiastek zapisujemy w postaci najprostszej
34. $\mathsf{P}=\boxed{32\sqrt{3}}|\mathsf{BC}|=\boxed{8\sqrt{2}}$