Rozwiąż równanie sumą sinusów

Rozwiązanie krok po kroku

Zamiana sumy na iloczyn i rozkład na czynniki

1. Krok 1. Równanie
2. $2\cos (7x)-2\cos \mathsf{x}=2\sqrt{3}\cdot \sin (4x)$
3. Krok 2. Para składników jako iloczyn
4. $\cos (7x)-\cos \mathsf{x}$
5. stosujemy wzór na różnicę cosinusów, $\alpha =7x$, $\beta =\mathsf{x}$
6. $-2\sin \frac{7x+\mathsf{x}}{2}\sin \frac{7x-\mathsf{x}}{2}$
7. liczymy średnią kątów i połowę ich różnicy
8. $\cos (7x)-\cos \mathsf{x}=\boxed{-2\sin (4x)\sin (3x)}$
9. Krok 3. Wspólny czynnik
10. $-4\sin (4x)\sin (3x)-2\sqrt{3}\cdot \sin (4x)=0$
11. po zamianie pary oba składniki zawierają $\sin (4x)$
12. $2\sin (4x)\left(-2\sin (3x)-\sqrt{3}\right)=0$
13. iloczyn jest równy zeru, gdy któryś czynnik jest zerem
14. $\boxed{\sin (4x)=0\vee \sin (3x)=-\frac{\sqrt{3}}{2}}$
15. Krok 4A. Pierwsze równanie
16. $\sin (4x)=0$
17. sinus jest równy zeru dokładnie dla kątów $\mathsf{k}\pi$
18. $4x=\mathsf{k}\pi$
19. wyznaczamy $\mathsf{x}$
20. $\boxed{x=\frac{k\pi }{4}}$
21. Krok 4B. Drugie równanie
22. $\sin (3x)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$
23. sinus przyjmuje tę wartość dla kątów $\alpha$ i $\pi -\alpha$, z okresem $2\pi$
24. $3x=-\frac{\pi }{3}+2k\pi \vee 3x=\frac{4\pi }{3}+2k\pi$
25. wyznaczamy $\mathsf{x}$, okres dzieli się przez $3$
26. $\boxed{x=-\frac{\pi }{9}+\frac{2k\pi }{3}\vee x=\frac{4\pi }{9}+\frac{2k\pi }{3}}$
27. Krok 5. Suma rozwiązań w przedziale
28. $\mathsf{x}=\frac{\mathsf{k}\pi }{4},\mathsf{k}\in \{0,1,\dots ,4\}$
29. sumujemy rozwiązania pierwszego równania z przedziału $⟨0;\pi ⟩$
30. ${\mathsf{S}}_1=\boxed{\frac{5\pi }{2}}$
31. dodajemy rozwiązania drugiego równania z przedziału, które nie spełniają już pierwszego
32. $\mathsf{S}=\frac{5\pi }{2}+\pi =\boxed{\frac{7\pi }{2}}$