Wzór Bayesa dla trzech dostawców

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: prawdopodobieństwo całkowite i wzór Bayesa

1. Krok 1. Udziały i odsetki
2. $\mathsf{R}$ - zdarzenie, że losowo wybrany produkt to skrzynka jabłek ekologicznych
3. $\mathsf{P}({\mathsf{H}}_1)=\frac{2}{9},\mathsf{P}({\mathsf{H}}_2)=\frac{4}{9},\mathsf{P}({\mathsf{H}}_3)=\frac{3}{9},\mathsf{P}(\mathsf{R}\mid {\mathsf{H}}_{\mathsf{i}})=\frac{40}{100},\frac{30}{100},\frac{15}{100}$
4. Krok 2. Prawdopodobieństwo całkowite
5. $\mathsf{P}(\mathsf{R})$ - suma po wszystkich dostawcach
6. $\mathsf{P}(\mathsf{R})=\frac{2}{9}\cdot \frac{40}{100}+\frac{4}{9}\cdot \frac{30}{100}+\frac{3}{9}\cdot \frac{15}{100}$
7. każdy składnik to jedna gałąź drzewka: udział dostawcy razy odsetek cechy
8. $\mathsf{P}(\mathsf{R})=\frac{80+120+45}{900}$
9. dodajemy liczniki i skracamy ułamek
10. $\mathsf{P}(\mathsf{R})=\boxed{\frac{49}{180}}$
11. Krok 3. Dostawca i cecha razem
12. $\mathsf{P}({\mathsf{H}}_1\cap \mathsf{R})$ - jedna gałąź drzewka
13. $\mathsf{P}({\mathsf{H}}_1\cap \mathsf{R})=\frac{2}{9}\cdot \frac{40}{100}$
14. udział dostawcy ${\mathsf{H}}_1$ razy odsetek cechy u tego dostawcy
15. $\mathsf{P}({\mathsf{H}}_1\cap \mathsf{R})=\boxed{\frac{4}{45}}$
16. Krok 4. Wzór Bayesa
17. $\mathsf{P}({\mathsf{H}}_1\mid \mathsf{R})=\frac{\mathsf{P}({\mathsf{H}}_1\cap \mathsf{R})}{\mathsf{P}(\mathsf{R})}=\frac{80}{900}\cdot \frac{900}{245}$
18. dzielenie przez ułamek to mnożenie przez odwrotność - wspólny mianownik się skraca
19. $\mathsf{P}({\mathsf{H}}_1\mid \mathsf{R})=\frac{80}{245}=\boxed{\frac{16}{49}}$

Najczęstsza pomyłka: podanie $\mathsf{P}({\mathsf{H}}_1\cap \mathsf{R})$ zamiast $\mathsf{P}({\mathsf{H}}_1\mid \mathsf{R})$ - warunek "jeśli wiadomo, że to skrzynka jabłek ekologicznych" zawęża przestrzeń zdarzeń do $\mathsf{R}$, więc w mianowniku musi stać $\mathsf{P}(\mathsf{R})$, a nie całość.