Wyrównaj szanse kolorów

Rozwiązanie krok po kroku

Drzewko losowania bez zwracania

1. Krok 1. Drzewko losowania
2. B: biały, C: czarny
3. $\text{ B }:4,\text{ C }:10,\text{razem }14$
4. Krok 2A. Różne kolory
5. $\mathsf{P}(\mathsf{A})=\frac{4}{14}\cdot \frac{10}{13}+\frac{10}{14}\cdot \frac{4}{13}$
6. Do różnych kolorów prowadzą dwie ścieżki drzewka: BC oraz CB.
7. $\mathsf{P}(\mathsf{A})=\frac{40}{182}+\frac{40}{182}$
8. Oba składniki są równe, bo różnią się tylko kolejnością czynników.
9. $\mathsf{P}(\mathsf{A})=\frac{80}{182}=\boxed{\frac{40}{91}}$
10. Krok 2B. Ten sam kolor
11. $\mathsf{P}(\mathsf{B})=\frac{4}{14}\cdot \frac{3}{13}+\frac{10}{14}\cdot \frac{9}{13}$
12. Ten sam kolor dają ścieżki BB oraz CC.
13. $\mathsf{P}(\mathsf{B})=\frac{12}{182}+\frac{90}{182}$
14. Ułamki mają wspólny mianownik, więc dodajemy liczniki.
15. $\mathsf{P}(\mathsf{B})=\frac{102}{182}=\boxed{\frac{51}{91}}$
16. Krok 3. Porównanie
17. Bardziej prawdopodobne jest wyciągnięcie długopisów tego samego koloru.
18. $\mathsf{P}(\mathsf{B})=\frac{51}{91}>\frac{40}{91}=\mathsf{P}(\mathsf{A})$
19. Krok 4. Różne kolory po zmianie składu
20. $\mathsf{n}$ to liczba dołożonych długopisów białych
21. $\mathsf{P}(\mathsf{A})=\frac{4+\mathsf{n}}{14+\mathsf{n}}\cdot \frac{10}{13+\mathsf{n}}+\frac{10}{14+\mathsf{n}}\cdot \frac{4+\mathsf{n}}{13+\mathsf{n}}$
22. Zmienia się tylko liczba długopisów białych, więc na gałęziach drzewka $4$ zastępujemy przez $4+\mathsf{n}$, a $14$ przez $14+\mathsf{n}$.
23. $\mathsf{P}(\mathsf{A})=\frac{80+20n}{{\mathsf{n}}^2+27n+182}$
24. Krok 5. Równanie
25. $\mathsf{P}(\mathsf{A})=\mathsf{P}(\mathsf{B}),\mathsf{P}(\mathsf{A})+\mathsf{P}(\mathsf{B})=1$
26. Zdarzenia A i B są przeciwne, więc przy równych szansach każde z nich ma prawdopodobieństwo jednej drugiej.
27. $\frac{80+20n}{{\mathsf{n}}^2+27n+182}=\frac{1}{2}$
28. Mianownik jest liczbą dodatnią, więc można przez niego pomnożyć obie strony.
29. ${\mathsf{n}}^2+27n+182=160+40n$
30. Zbieramy wszystkie wyrazy po jednej stronie równania.
31. $\boxed{n^2-13n+22=0}$
32. Otrzymujemy równanie kwadratowe z niewiadomą $\mathsf{n}$.
33. $\mathsf{\Delta }=(-13{)}^2-4\cdot 22=169-88=81$
34. Pierwiastki wyznaczamy ze wzorów na rozwiązania równania kwadratowego.
35. ${\mathsf{n}}_1=\frac{13-9}{2}=2,{\mathsf{n}}_2=\frac{13+9}{2}=11$
36. Krok 6. Odpowiedź
37. Oba pierwiastki są dodatnie, a pytanie dotyczy największej liczby długopisów.
38. $\boxed{\mathbf{n}=11}$

Szanse wyrównują się dokładnie wtedy, gdy $(\mathsf{x}-\mathsf{y}{)}^2=\mathsf{x}+\mathsf{y}$, gdzie $\mathsf{x}$ i $\mathsf{y}$ to liczby długopisów obu kolorów. Gdy długopisów czarnych jest 10, warunek spełnia tylko 6 albo 15 długopisów białych, a wszystkich długopisów jest wtedy 16 albo 25. Liczby 6, 10 i 15 to kolejne liczby trójkątne.

Mianownik 14 także w drugim losowaniu, czyli rachunek jak przy losowaniu ze zwracaniem. Po pierwszym losowaniu zostaje o jeden element mniej, więc mianownik drugiego losowania to 13.