Trójkąt równoramienny z punktem podobnym

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: proporcja boków z podobieństwa

1. Kluczem jest właściwe przyporządkowanie boków: w podobieństwie $\mathsf{ABC}\sim \mathsf{BDA}$ podstawie $\mathsf{AB}$ odpowiada odcinek $\mathsf{BD}$, a ramieniu $\mathsf{CA}$ odpowiada $\mathsf{AB}$. Stąd proporcja $\frac{\mathsf{AB}}{\mathsf{BD}}=\frac{\mathsf{CA}}{\mathsf{AB}}$.
2. Krok 1. Podobne trójkąty
3. $\mathsf{ABC}\sim \mathsf{BDA}$, więc boki są proporcjonalne; ramię $=9$, podstawa $=6$
4. Krok 2. Proporcja boków → $\mathsf{BD}$
5. podstawa do ramienia w obu trójkątach jest taka sama
6. $\frac{\mathsf{AB}}{\mathsf{BD}}=\frac{\mathsf{CA}}{\mathsf{AB}}$
7. z podobieństwa odpowiadające boki są proporcjonalne - mnożymy na krzyż
8. $\mathsf{BD}=\frac{\mathsf{A}{\mathsf{B}}^2}{\mathsf{CA}}=\frac{6^2}{9}=\frac{36}{9}$
9. $\mathsf{AB}=6$ (podstawa), $\mathsf{CA}=9$ (ramię)
10. $\mathsf{BD}=\boxed{4}$
11. Krok 3. Odcinek $\mathsf{DC}$
12. $\mathsf{D}$ leży na ramieniu długości $9$, więc $\mathsf{DC}=\mathsf{BC}-\mathsf{BD}$
13. $\mathsf{DC}=9-4$
14. od całego ramienia $9$ odejmujemy odcinek $\mathsf{BD}=4$
15. $\mathsf{DC}=\frac{9^2-6^2}{9}=\frac{45}{9}$
16. $9^2-6^2=45$
17. $\mathsf{DC}=\boxed{5}$

Odwrócenie proporcji - zapis $\frac{\mathsf{BD}}{\mathsf{AB}}=\frac{\mathsf{CA}}{\mathsf{AB}}$ daje błędny wynik. W podobieństwie bok mniejszego trójkąta odpowiada bokowi większego zawsze w tej samej kolejności.