Trapez: pola trójkątów z przekątnych

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: podobieństwo, potem pola czterech trójkątów

1. Wszystkie zależności wynikają z jednej skali $\mathsf{k}$: długości i obwody są w stosunku $\mathsf{k}$, a pola w stosunku ${\mathsf{k}}^2$.
2. Krok 1. Oznaczenia
3. pola liczymy w jednostce $\mathsf{S}$
4. $|\mathsf{AB}|=3\cdot |\mathsf{CD}|{\mathsf{P}}_{\mathsf{CDE}}=\mathsf{S}$
5. Krok 2. Podobieństwo trójkątów przy przekątnych
6. $\angle \mathsf{EAB}=\angle \mathsf{ECD}\angle \mathsf{EBA}=\angle \mathsf{EDC}$
7. przekątne przecinają proste równoległe, więc powstają kąty naprzemianległe
8. $△\mathsf{ABE}\sim △\mathsf{CDE}$
9. dwa kąty jednego trójkąta są równe dwóm kątom drugiego
10. $\frac{|\mathsf{AE}|}{|\mathsf{EC}|}=\frac{|\mathsf{AB}|}{|\mathsf{CD}|}=3$
11. Krok 3. Pola czterech trójkątów
12. $\frac{{\mathsf{P}}_{\mathsf{ABE}}}{{\mathsf{P}}_{\mathsf{CDE}}}=3^2$
13. pola figur podobnych mają się jak kwadrat skali podobieństwa
14. ${\mathsf{P}}_{\mathsf{ABE}}=\boxed{9S}$
15. $\frac{{\mathsf{P}}_{\mathsf{ABE}}}{{\mathsf{P}}_{\mathsf{BCE}}}=\frac{|\mathsf{AE}|}{|\mathsf{EC}|}=3$
16. oba trójkąty mają podstawy na przekątnej $\mathsf{AC}$, więc ich pola są w stosunku podstaw
17. ${\mathsf{P}}_{\mathsf{BCE}}=\boxed{3S}$
18. ${\mathsf{P}}_{\mathsf{AED}}={\mathsf{P}}_{\mathsf{BCE}}=3S$
19. trójkąty $\mathsf{ABC}$ i $\mathsf{ABD}$ mają wspólną podstawę $\mathsf{AB}$ i równe wysokości, więc po odjęciu wspólnej części $\mathsf{ABE}$ zostają równe pola
20. Krok 4. Pole trapezu
21. suma czterech trójkątów
22. ${\mathsf{P}}_{\mathsf{ABCD}}=9S+2\cdot 3S+\mathsf{S}=\boxed{16S}$

Punkt $\mathsf{E}$ dzieli przekątną $\mathsf{AC}$ w stosunku $3:1$ licząc od $\mathsf{A}$ - to nie jest stosunek $1:1$, więc $\mathsf{E}$ nie jest środkiem przekątnej. Obwody trójkątów $\mathsf{ABE}$ i $\mathsf{CDE}$ są w stosunku $3$, a nie $9$ - kwadrat skali dotyczy wyłącznie pól.