Rozwiąż równanie z modułami

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: podział osi na przedziały

1. Wartość policzoną w danym przedziale zachowujemy tylko wtedy, gdy do tego przedziału należy.
2. Krok 1. Postać kanoniczna
3. $|2x+4|+|2x+4|+|2x+4|-2=|2x+4|+|\mathsf{x}|$
4. z każdego modułu wyłączamy dodatni współczynnik przy x, moduły z tym samym wyrażeniem skracają się stronami, a stałą zbieramy po prawej
5. $4|\mathsf{x}+2|=|\mathsf{x}|+2$
6. Krok 2. Punkty krytyczne
7. Moduły zerują się dla $\mathsf{x}=-2$ oraz $\mathsf{x}=0$, więc oś dzieli się na trzy przedziały.
8. $(-\infty ,-2)[-2,0](0,+\infty )$
9. Krok 3. Przedział $\mathsf{x}<-2$
10. Niebieska prosta to $\mathsf{x}+2$, różowa to $\mathsf{x}$.
11. $4(-2-\mathsf{x})=(-\mathsf{x})+2$
12. na lewo od obu punktów oba wyrażenia pod modułami są ujemne, więc zmieniają znak
13. $(4-1)\mathsf{x}=-10$
14. dzielimy obie strony przez współczynnik stojący przy x
15. $\mathsf{x}=\boxed{-\frac{10}{3}}$
16. Krok 4. Przedział $-2\le \mathsf{x}\le 0$
17. $4(\mathsf{x}+2)=(-\mathsf{x})+2$
18. między punktami wyrażenia pod modułami mają przeciwne znaki
19. $(4+1)\mathsf{x}=-6$
20. dzielimy obie strony przez współczynnik stojący przy x
21. $\mathsf{x}=\boxed{-\frac{6}{5}}$
22. Krok 5. Przedział $\mathsf{x}>0$
23. $4(\mathsf{x}+2)=(\mathsf{x})+2$
24. na prawo od obu punktów oba wyrażenia pod modułami są dodatnie, więc moduły znikają
25. $(4-1)\mathsf{x}=-6$
26. dzielimy obie strony przez współczynnik stojący przy x
27. $\mathsf{x}=-2\notin (0,+\infty )$
28. $\boxed{\mathbf{x}=-\frac{10}{3}\text{lub}\mathbf{x}=-\frac{6}{5}}$

Najczęstsza pomyłka: zapisanie w odpowiedzi wartości policzonej w przedziale bez sprawdzenia, czy do niego należy.

Równość $|\mathsf{kx}-\mathsf{kp}|=\mathsf{k}\cdot |\mathsf{x}-\mathsf{p}|$ obowiązuje dla $\mathsf{k}>0$, więc współczynnik wyłączamy dopiero po sprawdzeniu jego znaku.