Nierówność z dwoma modułami

Rozwiązanie krok po kroku

Metoda przedziałów (rozbicie na grupy)

1. Krok 1. Zera modułów
2. gdzie wyrażenia pod modułami zerują się?
3. $\left|40-10x\right|-\left|{\mathsf{x}}^2-16\right|\ge 0$
4. z różnicy kwadratów ${\mathsf{x}}^2-16=(\mathsf{x}-4)(\mathsf{x}+4)$, więc $\left|{\mathsf{x}}^2-16\right|=\left|\mathsf{x}-4\right|\cdot \left|\mathsf{x}+4\right|$
5. $\left|\mathsf{x}-4\right|=0\Rightarrow \mathsf{x}=4,\left|\mathsf{x}+4\right|=0\Rightarrow \mathsf{x}=-4$
6. moduł $\left|40-10x\right|$ zeruje się w $\mathsf{x}=4$, a moduł $\left|{\mathsf{x}}^2-16\right|$ w $\mathsf{x}=-4$ i $\mathsf{x}=4$; punkty graniczne osi to $-4$ i $4$
7. $\text{punkty graniczne: }\mathsf{x}=-4\text{ oraz }\mathsf{x}=4$
8. Krok 2. Podział na trzy grupy
9. zera modułów dzielą oś w punktach $-4$ i $4$
10. $\underset{{\mathsf{I}}_1}{\underbrace{\mathsf{x}<-4}}\underset{{\mathsf{I}}_2}{\underbrace{\mathsf{lo}\le \mathsf{x}<4}}\underset{{\mathsf{I}}_3}{\underbrace{\mathsf{x}\ge 4}}$
11. w każdej grupie oba wyrażenia pod modułami mają stały znak, więc moduł opuszczamy jednoznacznie: $\left|\mathsf{A}\right|=\mathsf{A}$ gdy $\mathsf{A}\ge 0$, $\left|\mathsf{A}\right|=-\mathsf{A}$ gdy $\mathsf{A}<0$
12. $\{\begin{array}{ll}\left(-x+4\right)\left(x+14\right)\ge 0& \text{dla }x<-4\\ \left(-x+4\right)\left(-x+6\right)\ge 0& \text{dla }-4\le x<4\\ \left(x-4\right)\left(-x+6\right)\ge 0& \text{dla }x\ge 4\end{array}$
13. Krok 3. Rozwiązania cząstkowe
14. rozwiąż i przetnij z przedziałem
15. $\{\begin{array}{ll}x\in [-14,-4)& \text{dla }x<-4\\ x\in [-4,4)& \text{dla }-4\le x<4\\ x\in [4,6]& \text{dla }x\ge 4\end{array}$
16. każdą nierówność kwadratową rozwiązujemy osobno, a wynik przecinamy z przedziałem, w którym obowiązuje - dlatego niektóre grupy mogą dać zbiór pusty
17. $\text{trzy zbiory cząstkowe}$
18. Krok 4. Suma rozwiązań
19. zaznacz rozwiązania cząstkowe na jednej osi
20. $[-14,-4)\cup [-4,4)\cup [4,6]$
21. zbiór rozwiązań całej nierówności to suma rozwiązań cząstkowych ze wszystkich trzech przedziałów; na osi punkt $4$ (czerwony) rozstrzygamy osobno
22. $\mathsf{x}\in \boxed{[-14,6]}$