Równanie wymierne z przedziałem

Rozwiązanie krok po kroku

Klasycznie: mnożenie na krzyż → równanie kwadratowe → przedział

1. Pierwiastki $\frac{6}{3}$ i $14$ są wykluczone z dziedziny, ale rozwiązania $\frac{7}{5}$ i $\frac{2}{3}$ są od nich różne - oba są dopuszczalne, a do przedziału należy tylko większe.
2. Krok 1. Dane
3. równanie wymierne z wykluczeniami dziedziny
4. $\frac{1}{3x-6}=\frac{5x}{\mathsf{x}-14},\mathsf{x}\ne \frac{6}{3},\mathsf{x}\ne 14$
5. Krok 2. Sprowadzenie do postaci ogólnej
6. $\mathsf{A}{\mathsf{x}}^2+\mathsf{Bx}+\mathsf{C}=0$
7. $1(\mathsf{x}-14)=5x(3x-6)$
8. iloczyn skrajnych = iloczyn środkowych - mnożymy licznik jednej strony przez mianownik drugiej
9. $1\mathsf{x}-14=15{\mathsf{x}}^2-30x$
10. po lewej $\mathsf{a}\cdot \mathsf{x}-\mathsf{a}\cdot \mathsf{r}$, po prawej $5x\cdot 3x-5x\cdot 6$
11. $0=15{\mathsf{x}}^2-30x-1\mathsf{x}+14$
12. przenosimy wszystko na prawą stronę i porządkujemy względem potęg $\mathsf{x}$
13. $15{\mathsf{x}}^2-31\mathsf{x}+14=0$
14. $5q+\mathsf{a}=30+1=31$ to współczynnik przy $\mathsf{x}$
15. $\mathsf{A}=15,\mathsf{B}=-31,\mathsf{C}=\boxed{14}$
16. Krok 3. Pierwiastki równania kwadratowego
17. $\mathsf{\Delta }={\mathsf{B}}^2-4AC,\mathsf{x}=\frac{-\mathsf{B}\pm \sqrt{\mathsf{\Delta }}}{2A}$
18. $\mathsf{\Delta }=(-31{)}^2-4\cdot 15\cdot 14$
19. do wzoru na deltę wstawiamy współczynniki $\mathsf{A}$, $\mathsf{B}$, $\mathsf{C}$ z kroku 2
20. $\mathsf{\Delta }=961-840=\boxed{121}$
21. delta jest dodatnia, więc równanie ma dwa pierwiastki
22. $\sqrt{\mathsf{\Delta }}=11$
23. podstawiamy do wzoru na pierwiastki; $-\mathsf{B}=31$, $2A=30$
24. $\mathsf{x}=\frac{31\pm 11}{30}$
25. obliczamy oddzielnie dla znaku $-$ i $+$, a ułamki skracamy
26. $\mathsf{x}=\frac{7}{5}\vee \mathsf{x}=\frac{2}{3}$
27. Krok 4. Wybór rozwiązań z przedziału
28. $\left(\frac{8}{7},+\infty \right)$
29. $\frac{2}{3}<\frac{8}{7}<\frac{7}{5}$
30. granica przedziału leży między pierwiastkami - mniejszy odpada, większy należy do $\left(\frac{8}{7},+\infty \right)$
31. $\mathsf{x}=\boxed{\frac{7}{5}}$

Najczęstsze pomyłki: (1) zgubienie znaku przy przenoszeniu wyrazów na jedną stronę; (2) podanie obu pierwiastków bez sprawdzenia, czy należą do przedziału $\left(\frac{8}{7},+\infty \right)$; (3) wpisanie granicy przedziału jako rozwiązania (przedział jest otwarty).