Rozwiąż równanie przez iloczyn

Wyznacz liczbę rozwiązań równania (2x) + (6x) = (8x) w przedziale 0, π.

Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.

Rozwiązanie krok po kroku

Zamiana sumy na iloczyn

  1. Mnożniki 2, 8 i 6 tworzą ciąg arytmetyczny, dlatego suma składników skrajnych ma ten sam czynnik co składnik środkowy.
  2. Postać iloczynowa
  3. najpierw przenosimy wszystko na lewą stronę
  4. (2x) - (8x) + (6x) = 0
  5. półsuma mnożników skrajnych składników to 4, a połowa ich różnicy to 2
  6. 2 (4x) (2x) - (8x) = 0
  7. 2 (4x) (2x) - 2 (4x) (4x) = 0
  8. oba składniki mają ten sam czynnik
  9. 2 (4x)≤ft[ (2x) - (4x) ] = 0
  10. nawias przekształcamy tym samym wzorem, dla mnożników 2 i 4
  11. 4 (4x) (3x) (x) = 0
  12. Rodziny rozwiązań
  13. (4x) = 0 (3x) = 0 (x) = 0
  14. iloczyn jest zerem, gdy zeruje się co najmniej jeden czynnik; z każdego równania wyznaczamy x, dzieląc przez mnożnik argumentu
  15. x = kπ/ 4 x = kπ/ 3 x = kπ, k Z
  16. Zera w przedziale
  17. (mx) ma m zer w 0, π, (mx) ma m + 1 zer
  18. 5 + 4 + 2 = 11
  19. argument będący zerem dwóch czynników należy do zbioru rozwiązań tylko raz
  20. 7
  21. Liczba rozwiązań
  22. 7

Zbiór zer każdego czynnika nie zmienia się przy podstawieniu x → π - x, więc rozwiązania leżą symetrycznie wokół π/2. Argument będący zerem dwóch czynników naraz trafia do zbioru tylko raz.

Inne zadania z tego tematu

Wszystkie zadania z tematu Równania i nierówności trygonometryczne