Oblicz kąt ze stosunku pól

W trójkącie równoramiennym ABC , w którym |AB| = |AC| oraz | BAC| = 150^ , punkt D leży na boku BC . Ramiona tego trójkąta mają długość 10 . Stosunek długości odcinka DC do długości odcinka BD jest równy 1+ 3 . Oblicz długość odcinka BD .

Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.

Rozwiązanie krok po kroku

Stosunek pól sprowadzony do jednego kąta

  1. Pola przez sinusy
  2. = | DAC| , = | BAD| , + = 150^
  3. P_ ABD P_ ADC = 1 2 |AB| |AD| 1 2 |AC| |AD|
  4. Oba trójkąty mają wspólny bok AD , a ramiona AB i AC są równe, więc skracają się.
  5. P_ ABD P_ ADC =
  6. Od odcinków do pól
  7. |BD| |DC|
  8. Trójkąty ABD i ADC mają tę samą wysokość opuszczoną z wierzchołka A , więc ich pola są proporcjonalne do podstaw.
  9. |BD| |DC| = P_ ABD P_ ADC =
  10. Odwróć daną
  11. = 1+ 3
  12. Dana opisuje stosunek w odwrotnej kolejności, niż potrzebny do równania.
  13. = 3 -1 2
  14. Jedna niewiadoma zamiast dwóch
  15. ( 150^ - ) = 3 -1 2
  16. Z sumy kątów przy wierzchołku A mamy = 150^ - , więc zostaje jedna niewiadoma.
  17. 150^ - 150^ = 3 -1 2
  18. > 0 , bo jest kątem trójkąta, więc dzielenie jest dozwolone.
  19. 150^ ctg - 150^ = 3 -1 2
  20. Iloraz to cotangens kąta .
  21. ctg = 3 -1 2 - 3 2 1 2 = -1
  22. W przedziale kątów trójkąta cotangens jest różnowartościowy, więc rozwiązanie jest dokładnie jedno.
  23. = 135^
  24. Twierdzenie sinusów w trójkącie ABD
  25. | BAD| = 15^ , | ADB| = 150^
  26. |BD| 15^ = 10 150^
  27. Naprzeciw boku BD leży kąt BAD , a naprzeciw ramienia AB kąt ADB .
  28. |BD| = 10 6 - 2 4 1 2 = 5 6 -5 2

Przyrównanie stosunku pól do stosunku ramion. Ramiona AB i AC są równe, ale pola części równe nie są, bo decyduje o nich sinus kąta przy wierzchołku A .