Równanie trygonometryczne przez faktoryzację

Rozwiązanie krok po kroku

Tożsamość podwojonego kąta → postać iloczynowa → rozwiąż oba czynniki

1. Klucz: tożsamość podwojonego kąta ( 2x = 2 x x ) sprowadza równanie do kwadratowego względem jednej funkcji. Postać iloczynowa (2 x + 1)(2 x - 1)=0 rozbija je na dwa niezależne równania - suma ich rozwiązań to pełny zbiór rozwiązań.
2. Krok 1 (a). Usuń podwojony kąt
3. tożsamość: 2x = 2 x x
4. - x + x + 2x = 1 2
5. składnik 2x zastępujemy tożsamością 2x = 2 x x - zostają tylko funkcje kąta x
6. - x + x + 2 x x = 1 2
7. Krok 2 (b). Postać iloczynowa
8. przenieś wszystko na lewo i rozłóż na czynniki
9. (2 x + 1)(2 x - 1) = 0
10. po uporządkowaniu wyrażenie kwadratowe rozkłada się na iloczyn dwóch czynników liniowych względem funkcji trygonometrycznej
11. (2 x + 1)(2 x - 1) = 0
12. Krok 3 (c). Pierwszy czynnik
13. 2 x + 1 = 0
14. iloczyn jest zerem, gdy zeruje się choć jeden czynnik - rozwiązujemy pierwszy
15. x = - 6 + 2k lub x = 7 6 + 2k , k Z
16. Krok 4 (d). Drugi czynnik
17. 2 x - 1 = 0
18. drugi czynnik daje pozostałe rozwiązania
19. x = 3 + 2k , k Z
20. Rozwiązania równania
21. suma rozwiązań obu czynników
22. x = - 6 + 2k lub x = 7 6 + 2k lub x = 3 + 2k , k Z

Najczęstsze pomyłki: (1) błędna tożsamość podwojonego kąta (np. 2x = 2 ^2 x - 1 zamiast 1 - 2 ^2 x ); (2) rozwiązanie tylko jednego czynnika i pominięcie drugiego; (3) błąd znaku pierwiastka lub pominięcie ograniczenia dziedziny - odpowiedź musi zgadzać się z podanym przedziałem.