Iloraz potęgi i łańcucha logarytmów
Dane są liczby rzeczywiste a oraz b: a = 16^, 1 2 _4 36;-; _4 3, b = _ 3!≤ft(2^ 2) · _ 2!≤ft(5^ 1) · _ 5!≤ft(3^ 2). Oblicz wartość ilorazu a 3· b. Wynik zapisz w postaci 3^k, gdzie k Z.
Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.
Rozwiązanie krok po kroku
Klasyczny: sprowadź podstawy i skróć czynnik 4
- Sedno: 16 = 4^2 podwaja cały wykładnik i uzgadnia podstawę z logarytmem, a cykliczny iloczyn logarytmów w b znosi się do 1. Po podstawieniu czynnik 4 z a skraca się z mianownikiem i zostaje czysta potęga trójki.
- Krok 1. Co liczymy
- Dwie liczby liczymy osobno, potem dzielimy a przez 3· b.
- a = 16^, 1 2 _4 36;-; _4 3 b = _ 3!≤ft(2^ 2) · _ 2!≤ft(5^ 1) · _ 5!≤ft(3^ 2)
- Krok 2A. Liczba a
- 16 = 4^2, więc cały wykładnik mnoży się przez 2.
- a = ≤ft(4^ 2)^ 1 2 _4 36;-; _4 3
- podstawę zapisujemy jako potęgę czwórki - to pozwala uzgodnić ją z logarytmem o podstawie 4
- a = 4^,2·≤ft( 1 2 _4 36;-; _4 3)
- przy potędze z potęgi wykładniki mnożymy - dwójka wchodzi do środka
- a = 4^, _4 36;-; 2 _4 3
- połowa przy pierwszym logarytmie znika, a współczynnik przy _4 3 się podwaja
- a = 4^, _4 4
- różnicę logarytmów o tej samej podstawie zwijamy w logarytm ilorazu, a 4^ _4 t =t
- a = 4
- Krok 2B. Liczba b
- Wykładnik argumentu wychodzi przed logarytm, a cykliczny iloczyn logarytmów daje 1.
- b = 2 _ 3 2 · 1 _ 2 5 · 2 _ 5 3
- wykładnik z argumentu każdego logarytmu wyciągamy przed logarytm jako czynnik
- b = 4 · ≤ft( _ 3 2 · _ 2 5 · _ 5 3) _ = 1
- cykliczny iloczyn logarytmów po podstawach 2,3,5 jest równy 1 - podstawy skracają się w kółko
- b = 4 · 1 = 4
- Krok 3. Iloraz a 3· b
- Czynnik 4 z licznika skraca się z mianownikiem.
- a 3· b = 4· 3^ 0 3· 4
- w liczniku zapisujemy a = 4· 3^ 0, w mianowniku iloczyn dzielnika i policzonego b
- a 3· b = 4· 3^ 0 #E53A3A 4· 3^ 1
- mianownik rozkładamy tak, by wydzielić czynnik 4 i potęgę trójki
- a 3· b = 4 · 3^ 0 4 · 3^ 1
- czwórki w liczniku i mianowniku się skracają - zostaje sam iloraz potęg trójki
- a 3· b = 3^ 0 - 1 = 3^ -1
Potraktowanie 16 jak 4 i pominięcie mnożenia całego wykładnika przez 2 - wtedy a = 4^ 1 2 _4 36;-; _4 3 zamiast poprawnego, co zaniża potęgę trójki. Pamiętaj: 16 = 4^2, więc każdy składnik wykładnika podwaja się.
Iloczyn logarytmów _ 3 2 · _ 2 5 · _ 5 3 jest zawsze równy 1 niezależnie od kolejności podstaw - wynika to z reguły zmiany podstawy _a b = b a: liczniki i mianowniki skracają się cyklicznie.