Odcinki prostopadłe w kwadracie

Punkt K leży na boku CD kwadratu ABCD o boku długości a , przy czym |CK| = 1 2 a . Punkt L leży na boku DA , przy czym |DL| = 1 3 a . Punkt M jest takim punktem boku DA , że odcinki BK i KM są prostopadłe. Odcinek CL przecina odcinki BK oraz BM w punktach - odpowiednio - P oraz Q . Wykaż, że |BQ| = 15 13 a .

Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.

Rozwiązanie krok po kroku

Współrzędne i podobieństwo trójkątów

  1. Dla k = l (jak w oryginale CKE) prosta CL jest prostopadła do BK - trójkąt BPQ jest wtedy prostokątny w P .
  2. Krok 1. Układ współrzędnych
  3. C=(0,0) , D=(a,0) , A=(a,a) , B=(0,a)
  4. K = ( 1 2 a, 0 ), L = ( a, 1 3 a )
  5. Krok 2. Punkt M z podobieństwa
  6. warunek BK KM
  7. CBK DKM
  8. kąty ostre przy wierzchołku K dopełniają się do 90° , więc oba trójkąty prostokątne mają te same kąty
  9. |DM| |DK| = |CK| |CB|
  10. |DK| = a - 1 2 a = 1 2 a , |CK| = 1 2 a , |CB| = a
  11. |DM| = #E53A3A 1 2 a 1 2
  12. mnożymy ułamki i skracamy
  13. |DM| = 1 4 a
  14. Krok 3. Równania prostych
  15. M = (a, 1 4 a )
  16. CL: y = 1 3 x
  17. prosta przechodzi przez C=(0,0) i L= (a, 1 3 a ) , więc jej współczynnik kierunkowy to 1 3 a a = 1 3
  18. BK: y = a - 2x
  19. prosta przechodzi przez B=(0,a) i K= ( 1 2 a, 0 ) : wyraz wolny a , współczynnik kierunkowy 0 - a 1 2 a - 0 = -2
  20. BM: y = a - 3 4 x
  21. prosta przechodzi przez B=(0,a) i M= (a, 1 4 a ) : współczynnik kierunkowy 1 4 a - a a = - 3 4
  22. Krok 4a. Punkt P
  23. P = CL BK
  24. 1 3 x = a - 2x
  25. przyrównujemy prawe strony równań prostych CL i BK
  26. ( 1 3 + 2 )x = a
  27. dzielimy przez współczynnik przy x
  28. x_P = 3 7 a
  29. punkty C , P , L leżą na jednej prostej, więc |CP| : |CL| jest równy stosunkowi ich odciętych x_P : a
  30. |CP| |CL| = 3 7
  31. Krok 4b. Punkt Q
  32. Q = CL BM
  33. 1 3 x = a - #E53A3A 3 4 x
  34. przyrównujemy prawe strony równań prostych CL i BM
  35. ( 1 3 + 3 4 )x = a
  36. dzielimy przez współczynnik przy x
  37. x_Q = 12 13 a
  38. punkty C , Q , L leżą na jednej prostej, więc |CQ| : |CL| jest równy stosunkowi ich odciętych x_Q : a
  39. |CQ| |CL| = 12 13
  40. Krok 5. Długość odcinka
  41. |BQ|
  42. |BQ| = x_Q 1 + ( 3 4 )^ 2
  43. B i Q leżą na prostej BM o współczynniku kierunkowym - 3 4 (kwadrat znosi znak); różnica odciętych B i Q to x_Q
  44. |BQ| = #E53A3A 12 13 a 5 4
  45. 1+ ( 3 4 )^2 = 5 4 ; mnożymy i doprowadzamy do postaci z tezy
  46. |BQ| = 15 13 a