Zminimalizuj objętość bryły
Rozważamy wszystkie ostrosłupy prawidłowe trójkątne, których promień okręgu wpisanego w podstawę jest większy od 11, a odległość środka podstawy od ściany bocznej jest równa 11.
Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.
Rozwiązanie krok po kroku
Klasyczny: funkcja jednej zmiennej i pochodna
- Ten sam rachunek działa dla dowolnej bryły o podstawie foremnej: zmienia się wyłącznie stała przed m^3, a miejsce zerowe pochodnej zależy tylko od podanej odległości.
- Warunek na odległość
- h i m to przyprostokątne, 11 to wysokość opuszczona na przeciwprostokątną
- 11 = h · m/√(h^2 + m^2)
- iloczyn przyprostokątnych podzielony przez przeciwprostokątną daje wysokość trójkąta prostokątnego
- 121≤ft(h^2 + m^2) = h^2 m^2
- składniki z h^2 zbieramy po jednej stronie i wyłączamy je przed nawias
- h^2 = 121 m^2 / m^2 - 121
- Pole powierzchni bocznej jako funkcja jednej zmiennej
- P_b = 1/2 · 6√(3) m · √(h^2 + m^2)
- wstawiamy zależność z poprzedniego kroku, po czym zostaje jedna zmienna
- P_b(m) = 3√(3) m^3 / √(m^2 - 121)
- Pochodna i jej miejsce zerowe
- P_b'(m) = 3√(3) m^2(2m^2 - 363) / (m^2 - 121)√(m^2 - 121)
- mianownik jest dodatni w całej dziedzinie, więc pochodna zeruje się tam, gdzie zeruje się licznik
- 2m^2 - 363 = 0
- z dwóch rozwiązań do dziedziny należy tylko dodatnie
- m = 11√(6)/2
- Znak pochodnej
- zmiana z ujemnej na dodatnią oznacza minimum
- P_b'(m) < 0 dla m (11, 11√(6)/2)
- przed znalezioną wartością czynnik 2m^2 - 363 jest ujemny
- P_b'(m) > 0 dla m (11√(6)/2, +∞)
- Najmniejsze pole powierzchni bocznej
- m = 11√(6)/2 m^2 = 363/2
- kwadrat znalezionej wartości wstawiamy do wzoru funkcji
- P_ b, = 3267/2
Dziedziną jest przedział (11, +∞): dla m = 11 mianownik m^2 - 121 zeruje się, a dla mniejszych wartości byłby ujemny.