Oblicz najwieksza objetosc
Rozważamy wszystkie stożki o polu powierzchni całkowitej równym 16π.
Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.
Rozwiązanie krok po kroku
Klasyczny: pochodna objętości
- Warunek z treści wiąże dwie wielkości bryły, więc objętość sprowadza się do funkcji jednej zmiennej na przedziale ≤ft(0, 2√(2)).
- Krok 1. Warunek z treści
- stożki, zmienna r ≤ft(0, 2√(2))
- P_ c = 16π
- Krok 2. Druga wielkość przez zmienną
- P_ c = 16π
- z warunku zadania wyliczamy drugą wielkość, aby objętość zależała od jednej zmiennej
- h = 4√(16 - 2r^2)/r
- Krok 3. Objętość jednej zmiennej
- podstawiamy h do wzoru na objętość
- V(r) = 4π/3r√(16 - 2r^2)
- Krok 4. Pochodna i jej miejsce zerowe
- funkcja pomocnicza f ma maksimum tam, gdzie V
- f'(r) = 512r - 128r^3
- ekstremum funkcji różniczkowalnej leży w miejscu zerowym pochodnej
- 128r≤ft(4 - r^2) = 0
- pierwiastki spoza dziedziny odrzucamy, zostaje jeden kandydat
- r = 2
- Krok 5. Uzasadnienie maksimum
- pochodna zmienia znak z dodatniego na ujemny
- f' > 0 w ≤ft(0, 2) f' < 0 w ≤ft(2, 2√(2))
- Krok 6. Oblicz największą objętość.
- podstawiamy r = 2
- V_ = 16π√(2)/3
Samo zerowanie pochodnej nie wystarcza: pełne rozwiązanie wymaga zbadania znaku f' po obu stronach punktu r = 2.