Najmniejsze pole trojkata z okregiem wpisanym
W projekcie ogrodu zaplanowano grządkę w kształcie trójkąta równoramiennego o podstawie długości x metrów nieprzekraczającej 13 metrów. Na tej grządce ma znajdować się oczko wodne w kształcie koła o średnicy 6 metrów, które ma być styczne do każdego z boków trójkątnej grządki (zobacz rysunek). Projektantowi zależy, aby przy tak ustalonej wielkości oczka wodnego pole tego grządki było najmniejsze.
Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.
Rozwiązanie krok po kroku
Zadanie 12.1: wzór na pole z okręgu wpisanego
- Kluczem 12.1 jest wzór r = 2P L - łączy on daną (promień 3) z niewiadomą wysokością. Po jej wyznaczeniu pole liczymy już wprost, a 1 2 ·6 = 3 daje współczynnik licznika.
- Krok 1. Dane i rysunek
- Trójkąt równoramienny o podstawie x i wysokości h; okrąg wpisany ma promień r = 3 (połowa średnicy 6).
- r = 3, h =?, P = 1 2 xh
- Krok 2. Wysokość h(x)
- Dla okręgu wpisanego r = 2P L, gdzie L to obwód. Ramię trójkąta ma długość h^2 + ≤ft( x 2)^2.
- 3 = 2 · 1 2 xh, x + 2 h^2 + x^2 4,
- promień okręgu wpisanego to podwojone pole podzielone przez obwód; podstawiamy P= 1 2 xh oraz L = x + 2·ramię
- 3≤ft( x + 2 h^2 + x^2 4) = xh
- mnożymy na krzyż, a następnie zostawiamy pierwiastek po jednej stronie i podnosimy obie strony do kwadratu
- h = 6x^2 x^2 - 36
- po uproszczeniu w liczniku pojawia się średnica 2r = 6, a w mianowniku różnica x^2 - 36 (gdzie 36 = 6^2)
- h = 6x^2 x^2 - 36
- Krok 3. Pole P(x)
- P = 1 2 x · h = 1 2 x · 6x^2 x^2 - 36
- wstawiamy wyznaczoną wysokość do wzoru na pole trójkąta
- P(x) = 3x^3 x^2 - 36
Zadanie 12.2: najmniejsze pole przez pochodną
- Warunkiem minimum jest zmiana znaku pochodnej z - na +. Sam fakt P'(6√(3)) = 0 nie wystarcza - dlatego badamy znak po obu stronach.
- Krok 1. Pochodna P'(x)
- Reguła ilorazu dla u = 3x^3, v = x^2 - 36: u' = 9x^2, v' = 2x.
- P' = u',v - u,v' v^2
- pochodna licznika razy mianownik minus licznik razy pochodna mianownika, całość przez kwadrat mianownika
- P' = 9x^2≤ft(x^2 - 36) - 3x^3 · 2x ≤ft(x^2 - 36)^2
- w liczniku wyraz x^4 redukuje się częściowo, a z reszty wyłączamy wspólny czynnik 3x^2
- P'(x) = 3x^2≤ft(x^2 - 108) ≤ft(x^2 - 36)^2
- Krok 2. Miejsce zerowe w dziedzinie
- Mianownik i 3x^2 są dodatnie na (6, 13], więc znak P' zależy tylko od czynnika x^2 - 108.
- x^2 - 108 = 0
- przyrównujemy do zera jedyny czynnik mogący zmienić znak; bierzemy pierwiastek dodatni, bo x to długość
- x^2 = 108
- 108 = 3 · 36 = 36^2, więc pierwiastek wyciąga się do postaci 6√(3)
- x = 6√(3)
- Krok 3. Znak P' i wniosek
- Czynnik x^2 - 108 zmienia znak w 6√(3): ujemny wcześniej, dodatni później.
- P' #E53A3A
- dla x mniejszych od 6√(3) czynnik x^2 - 108 jest ujemny, więc funkcja P maleje
- P' > 0 na ≤ft(6√(3), 13 ]
- dla x większych od 6√(3) czynnik jest dodatni, więc P rośnie - z malejącej na rosnącą przechodzi w minimum
- minimum w x = 6√(3)
- Krok 4. Najmniejsze pole
- Wstawiamy x = 6√(3) do wzoru na P. Wtedy x^2 = 108, a wysokość wynosi h = 9.
- P≤ft(6√(3)) = 3≤ft( #E53A3A 6√(3))^3 108 - 36
- w mianowniku x^2 - 36 = 108 - 36 = 72; licznik zawiera ≤ft(6√(3))^3
- P_ = 27√(3)
Najczęstsza pomyłka 12.2: uznanie, że skoro P'(6√(3)) = 0, to od razu jest tam minimum - bez sprawdzenia znaku po obu stronach można równie dobrze trafić na maksimum lub punkt przegięcia. Druga pułapka: szukanie ekstremum na krańcu 13 dziedziny zamiast wewnątrz.
Dziedzina zaczyna się od x > 6, bo dla x ≤ 6 mianownik x^2 - 36 nie jest dodatni i trójkąt z okręgiem wpisanym o promieniu 3 nie istnieje. Miejsce zerowe 6√(3) ≈ 10.39 leży wewnątrz (6, 13], więc minimum jest osiągane.