Pochodna ilorazu z parametrem
Funkcja f jest określona wzorem f(x)= ax^2+2x x+1 dla każdej liczby rzeczywistej x `≠ -1. Wyznacz wszystkie wartości a, dla których pochodna funkcji f w punkcie x=a jest równa ≤ft(-a).
Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.
Rozwiązanie krok po kroku
Klasyczny: reguła ilorazu, równanie w a, faktoryzacja
- Warunek zadania sprowadza się do równania trzeciego stopnia w parametrze a - z faktoryzacji zostaje dokładnie jeden pierwiastek rzeczywisty, bo kwadratowy czynnik ma < 0.
- Krok 1. Funkcja i warunek
- Szukamy wszystkich a, dla których pochodna w punkcie x=a ma zadaną wartość.
- f(x) = ax^2+2x x+1, f'≤ft(a) = -a
- Krok 2. Pochodna f'(x)
- u = ax^2+2x, v = x+1, więc u' = 2ax+2, v' = 1.
- ≤ft( u v)' = u',v - u,v' v^2
- wzór na pochodną ilorazu: pochodna licznika razy mianownik MINUS licznik razy pochodna mianownika, całość przez kwadrat mianownika
- f'(x) = ≤ft(2ax+2)≤ft(x+1) - ≤ft(ax^2+2x)· 1 ≤ft(x+1)^2
- parametr a traktujemy jak stałą - pochodna liczona jest po x
- f'(x) = 2ax^2+2ax+2x+2;-, ax^2-2x ≤ft(x+1)^2
- wyrazy z samym x (+2x i -2x) znoszą się, kwadraty odejmują się do ax^2, a stałe zwijają się w jeden wyraz wolny
- f'(x) = ax^2+2ax+2 ≤ft(x+1)^2
- Krok 3. Równanie z warunku
- Podstawiamy x = a i mnożymy przez kwadrat mianownika.
- f'≤ft( a) = -a
- punkt x=a należy do dziedziny, więc ≤ft(a+1)^2 > 0 i mnożenie obu stron nie zmienia zbioru rozwiązań; przy współczynniku połówkowym mnożymy dodatkowo przez 2
- 2a^3+4a^2+a+2 = 0
- Krok 4. Rozwiązanie równania
- Wielomian trzeciego stopnia rozkładamy na czynnik liniowy i trójmian.
- (a+2)≤ft( 2a^2+1) = 0
- pierwiastek całkowity zgadujemy wśród dzielników wyrazu wolnego, dzielimy wielomian przez czynnik liniowy; trójmian w nawiasie ma ujemny wyróżnik, więc nie daje żadnych pierwiastków rzeczywistych
- a = -2
Odwrócenie kolejności w regule ilorazu - policzenie uv' - u'v v^2 zamiast u'v - uv' v^2 zmienia znak całego licznika pochodnej i prowadzi do równania z przeciwnymi znakami. Drugi częsty błąd: pomnożenie prawej strony przez ≤ft(a+1) zamiast przez ≤ft(a+1)^2.
Ujemna delta trójmianu 2a^2+1 oznacza tylko tyle, że TEN czynnik nie ma pierwiastków - całe równanie wciąż ma rozwiązanie a = -2 z czynnika liniowego. Wniosek "< 0, więc brak rozwiązań" byłby poprawny tylko wtedy, gdyby trójmian był całym równaniem.