Równanie wymierne z przedziałem
Dane jest równanie 1 /3x - 6 = 5x/x - 14, gdzie x `≠ 6 /3 i x `≠ 14. **Wyznacz wszystkie rozwiązania tego równania należące do przedziału** ≤ft( 8 / 7,,+∞).
Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.
Rozwiązanie krok po kroku
Klasycznie: mnożenie na krzyż → równanie kwadratowe → przedział
- Pierwiastki 6 /3 i 14 są wykluczone z dziedziny, ale rozwiązania 7 /5 i 2 /3 są od nich różne - oba są dopuszczalne, a do przedziału należy tylko większe.
- Krok 1. Dane
- równanie wymierne z wykluczeniami dziedziny
- 1 /3x - 6 = 5x/x - 14, x `≠ 6 /3, x `≠ 14
- Krok 2. Sprowadzenie do postaci ogólnej
- Ax^2 + Bx + C = 0
- 1,(x - 14) = 5x,(3x - 6)
- iloczyn skrajnych = iloczyn środkowych - mnożymy licznik jednej strony przez mianownik drugiej
- 1x - 14 = 15x^2 - 30x
- po lewej a· x - a· r, po prawej 5x· 3x - 5x· 6
- 0 = 15x^2 - 30x - 1x + 14
- przenosimy wszystko na prawą stronę i porządkujemy względem potęg x
- 15x^2 - 31 x + 14 = 0
- 5q + a = 30 + 1 = 31 to współczynnik przy x
- A = 15, B = -31, C = 14
- Krok 3. Pierwiastki równania kwadratowego
- = B^2 - 4AC, x = -B ± √() 2A
- = (-31)^2 - 4 · 15 · 14
- do wzoru na deltę wstawiamy współczynniki A, B, C z kroku 2
- = 961 - 840 = 121
- delta jest dodatnia, więc równanie ma dwa pierwiastki
- √() = 11
- podstawiamy do wzoru na pierwiastki; -B = 31, 2A = 30
- x = 31 ± 11 / 30
- obliczamy oddzielnie dla znaku - i +, a ułamki skracamy
- x = 7/5 x = 2/3
- Krok 4. Wybór rozwiązań z przedziału
- ≤ft( 8 7,,+∞)
- 2/3 < 8 / 7 < 7/5
- granica przedziału leży między pierwiastkami - mniejszy odpada, większy należy do ≤ft( 8 / 7,+∞)
- x = 7/5
Najczęstsze pomyłki: (1) zgubienie znaku przy przenoszeniu wyrazów na jedną stronę; (2) podanie obu pierwiastków bez sprawdzenia, czy należą do przedziału ≤ft( 8 / 7,+∞); (3) wpisanie granicy przedziału jako rozwiązania (przedział jest otwarty).