Oblicz stałą i prawdopodobieństwo

Rozwiązanie krok po kroku

Od warunku normalizacji do wielkości rozkładu

1. Cały rachunek stoi na jednym podstawieniu: $\mathsf{u}=12-\mathsf{x}$ zamienia gęstość w zwykłą potęgę, a wtedy stała, dystrybuanta i momenty wychodzą z tej samej całki, różniącej się wyłącznie wykładnikiem. Wynik kroku (a) jest dokładny, wynik kroku (b) podajemy z dokładnością do czterech miejsc po przecinku.
2. Dane
3. poza tym przedziałem gęstość jest zerem
4. $\mathsf{f}(\mathsf{x})=\mathsf{C}(12-\mathsf{x}{)}^2,\mathsf{x}\in (2,7)$
5. Zmienna pomocnicza
6. gęstość zależy od $\mathsf{x}$ tylko przez tę różnicę, więc cały rachunek prowadzimy w $\mathsf{u}$
7. $\mathsf{u}=12-\mathsf{x},\mathsf{x}\in (2,7)\Rightarrow \mathsf{u}\in [5,10]$
8. Krok (a). Stała $\mathsf{C}$
9. Stała jest tak dobrana, żeby całe pole pod gęstością wyniosło jeden.
10. $\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\mathsf{f}(\mathsf{x})\mathsf{dx}=1$
11. całkę zawężamy do przedziału, na którym gęstość nie jest zerem
12. $\underset{2}{\overset{7}{\int }}\mathsf{C}(12-\mathsf{x}{)}^2\mathsf{dx}=1$
13. przy podstawieniu malejącym minus z $\mathsf{du}$ znosi się z zamianą granic całkowania
14. $\mathsf{C}\underset{5}{\overset{10}{\int }}{\mathsf{u}}^2\mathsf{du}=1$
15. wykładnik rośnie o jeden, a całość dzielimy przez nowy wykładnik
16. $\mathsf{C}\cdot \frac{1000-125}{3}=1$
17. stała jest odwrotnością policzonej całki, czyli $\mathsf{C}=\frac{3}{875}$
18. $\mathsf{C}=\boxed{\frac{3}{875}}$
19. Krok (b). Przedział wokół średniej
20. Wartość bezwzględna odległości mniejsza od $2$ to przedział o środku w $\mathsf{E}(\mathsf{X})$.
21. $\mathsf{P}(|\mathsf{X}-\mathsf{E}(\mathsf{X})|<2)=\mathsf{P}(\mathsf{E}(\mathsf{X})-2<\mathsf{X}<\mathsf{E}(\mathsf{X})+2)$
22. bez środka przedziału nie da się wskazać jego krańców
23. $\mathsf{E}(\mathsf{X})=12-\mathsf{E}(\mathsf{U}),\mathsf{E}(\mathsf{U})=\frac{3}{875}\cdot \frac{9375}{4}=\frac{225}{28}$
24. moment liczymy na osi $\mathsf{u}$, a potem cofamy podstawienie
25. $\mathsf{E}(\mathsf{X})=12-\frac{225}{28}=\frac{111}{28}$
26. krańce przedziału to $\mathsf{E}(\mathsf{X})\pm 2$
27. $\mathsf{P}(\dots )=\mathsf{F}(\mathsf{E}(\mathsf{X})+2)-\mathsf{F}(\mathsf{E}(\mathsf{X})-2)=0,8916-0,0000$
28. obie wartości dystrybuanty liczymy tym samym wzorem, każdą w swoim krańcu
29. $\mathsf{P}(|\mathsf{X}-\mathsf{E}(\mathsf{X})|<2)\approx \boxed{0,8916}$
30. Odpowiedzi
31. $\text{(a)}\boxed{\frac{3}{875}}\text{(b)}\boxed{0,8916}$

Dwie pomyłki wracają najczęściej: <strong>pominięcie dolnej granicy całkowania</strong> (nośnik zaczyna się w $2$, a nie w zerze, więc od wartości w górnym krańcu trzeba odjąć wartość w dolnym) oraz <strong>całkowanie bez dzielenia przez nowy wykładnik</strong>. Obie prowadzą do stałej, przy której pole pod gęstością nie wynosi jeden, co warto sprawdzić na końcu.