Oblicz wariancję i dystrybuantę

Rozwiązanie krok po kroku

Od tabeli rozkładu do miary i dystrybuanty

1. Krok (a) opisuje cały rozkład jedną liczbą, krok (b) czyta z niego prawdopodobieństwo pojedynczego zdarzenia. Oba korzystają z tej samej tabeli, ale wynik kroku (b) jest dokładny, a wynik kroku (a) podajemy z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.
2. Rozkład odczytany z dystrybuanty
3. wysokość skoku w punkcie to prawdopodobieństwo tej wartości
4. $\mathsf{f}({\mathsf{x}}_{\mathsf{i}})=\mathsf{F}({\mathsf{x}}_{\mathsf{i}})-\mathsf{F}({\mathsf{x}}_{\mathsf{i}-1}),\mathsf{f}(6)=\mathsf{F}(6)$
5. Rozkład zmiennej $\mathsf{X}$
6. Krok (a). Wariancja przekształconej zmiennej
7. We wzorze $\mathrm{Var}(\mathsf{aX}+\mathsf{b})$ litera $\mathsf{a}$ to liczba stojąca przy $\mathsf{X}$, a $\mathsf{b}$ to liczba dodawana obok. Obie odczytujemy wprost z polecenia.
8. $\mathrm{Var}(\mathsf{aX}+\mathsf{b})={\mathsf{a}}^2\cdot \mathrm{Var}(\mathsf{X})$
9. wyraz wolny $\mathsf{b}$ tylko przesuwa wszystkie wartości, więc rozrzut zostaje ten sam i $\mathsf{b}$ znika ze wzoru
10. $2X-1\Rightarrow \mathsf{a}=2,\mathsf{b}=-1$
11. podstawiamy odczytane $\mathsf{a}$, więc zostaje policzyć samo $\mathrm{Var}(\mathsf{X})$
12. $\mathrm{Var}(\mathsf{X})=\mathsf{E}({\mathsf{X}}^2)-{\left[\mathsf{E}(\mathsf{X})\right]}^2$
13. do wariancji potrzebne są dwie liczby: $\mathsf{E}(\mathsf{X})$ oraz $\mathsf{E}({\mathsf{X}}^2)$
14. $\mathsf{E}(\mathsf{X})=6\cdot \mathsf{f}(6)+7\cdot \mathsf{f}(7)+9\cdot \mathsf{f}(9)+10\cdot \mathsf{f}(10)$
15. każdą wartość zmiennej mnożymy przez jej prawdopodobieństwo, a iloczyny dodajemy
16. $\mathsf{E}(\mathsf{X})=6\cdot 0,20+7\cdot 0,30+9\cdot 0,30+10\cdot 0,20$
17. w miejsce $\mathsf{f}(\mathsf{x})$ wstawiliśmy liczby z tabeli rozkładu
18. $\mathsf{E}(\mathsf{X})=1,20+2,10+2,70+2=\boxed{8}$
19. wracamy do tej samej tabeli, tym razem z kwadratami wartości
20. $\mathsf{E}({\mathsf{X}}^2)=6^2\cdot \mathsf{f}(6)+7^2\cdot \mathsf{f}(7)+9^2\cdot \mathsf{f}(9)+10^2\cdot \mathsf{f}(10)$
21. ten sam schemat co przy $\mathsf{E}(\mathsf{X})$, tylko każdą wartość podnosimy do kwadratu
22. $\mathsf{E}({\mathsf{X}}^2)=6^2\cdot 0,20+7^2\cdot 0,30+9^2\cdot 0,30+10^2\cdot 0,20$
23. prawdopodobieństwa są te same, zmieniły się tylko liczby przed nimi
24. $\mathsf{E}({\mathsf{X}}^2)=7,20+14,70+24,30+20=\boxed{66,20}$
25. obie liczby gotowe, zostaje odejmowanie
26. $\mathrm{Var}(\mathsf{X})=66,20-(8{)}^2=\boxed{2,20}$
27. wariancję mnożymy przez kwadrat liczby stojącej przy $\mathsf{X}$
28. $\mathrm{Var}(2X-1)=(2{)}^2\cdot 2,20=\boxed{8,80}$
29. Krok (b). Prawdopodobieństwo pojedynczej wartości
30. $\mathsf{f}(10)=\mathsf{F}(10)-\mathsf{F}(9)$
31. prawdopodobieństwo wartości to przyrost dystrybuanty w tym punkcie
32. $\mathsf{f}(10)=1-0,80=\boxed{0,20}$
33. Odpowiedzi
34. $\text{(a)}\boxed{8,80}\text{(b)}\boxed{0,20}$

Dwie pomyłki wracają najczęściej: <strong>$\mathsf{E}({\mathsf{X}}^2)$ liczone jako $[\mathsf{E}(\mathsf{X}){]}^2$</strong> (kwadraty trzeba podnieść przed uśrednianiem, nie po) oraz <strong>pominięcie punktu skoku</strong> w dystrybuancie. Wartość $\mathsf{F}(\mathsf{x})$ w samym punkcie skoku zależy od przyjętej konwencji, dlatego treść ją podaje, gdy pytanie dotyczy dokładnie takiego punktu.