Kody z powtarzającymi się cyframi

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: rozmieszczenie cyfr i reguła mnożenia

1. Krok 1. Plan zliczania
2. pierwsze miejsce zajęte przez $4$, zostaje $9$ wolnych miejsc
3. $\underset{\text{kombinacje}}{\underbrace{\text{miejsca dla }6\text{ i }8}}\cdot \underset{\text{wariacje}}{\underbrace{\text{roˊz˙ne nieparzyste na }4\text{ miejscach}}}$
4. Krok 2. Cyfry 6 i 8
5. identyczne cyfry - kolejność wyboru miejsc nieistotna
6. $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{2}\right)\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{3}\right)$
7. najpierw wybieramy dwa miejsca dla cyfry 6 spośród 9, potem trzy miejsca dla cyfry 8 spośród pozostałych 7
8. $36\cdot 35=\boxed{1260}$
9. Krok 3. Różne nieparzyste
10. cyfry nieparzyste: $1,3,5,7,9$ - jest ich $5$
11. $\frac{5!}{(5-4)!}=\frac{5!}{1!}$
12. cyfry mają być parami różne, a ich kolejność w kodzie ma znaczenie - to wariacje bez powtórzeń, nie kombinacje
13. $5\cdot 4\cdot 3\cdot 2=\boxed{120}$
14. Krok 4. Reguła mnożenia
15. $1260\cdot 120$
16. etapy są niezależne, więc liczby możliwości mnożymy
17. $\boxed{151200}$

Najczęstsza pomyłka: policzenie nieparzystych jako kombinacji $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{4}\right)$ zamiast wariacji $\frac{5!}{(5-4)!}$ - cyfry trafiają na konkretne miejsca kodu, więc ich kolejność ma znaczenie.