Ile jest liczb o danej sumie cyfr

Rozwiązanie krok po kroku

Kule i przegrody

1. Krok 1. Dane
2. liczba ma 4 cyfry, pierwsza różna od zera
3. ${\mathsf{d}}_1+{\mathsf{d}}_2+\cdots +{\mathsf{d}}_4=9$
4. Krok 2. Rozłóż sumę
5. ${\mathsf{d}}_1+{\mathsf{d}}_2+\cdots +{\mathsf{d}}_4=9,{\mathsf{d}}_1\ge 1$
6. pierwsza cyfra nie może być zerem, więc rezerwujemy dla niej jedną jednostkę z sumy
7. ${\mathsf{e}}_1+{\mathsf{d}}_2+\cdots +{\mathsf{d}}_4=8,\text{kaz˙da}\ge 0$
8. rozdajemy 8 jednakowych jednostek na 4 pozycje, każda może dostać 0
9. $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8+3}{3}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{11}{3}\right)$
10. 8 kul i 3 przegrody to razem 11 obiektów; wybieramy miejsca 3 przegród
11. $\boxed{165}$

Najczęstszy błąd: liczenie tak, jakby pierwsza cyfra mogła być zerem. Wynik jest wtedy za duży, bo liczb 4-cyfrowych nie zapisujemy z zerem na początku.

Metoda działa, bo suma cyfr (równa $9$) nie przekracza 9. Żadna cyfra nie może więc wyjść większa niż 9 i nie trzeba odrzucać niepoprawnych rozkładów.