Wykaż równoramienność trójkąta

Rozwiązanie krok po kroku

Odcinki stycznej i siecznej

1. Punkt styczności $\mathsf{M}$ leży wewnątrz boku $\mathsf{RT}$, a $\mathsf{N}$ wewnątrz boku $\mathsf{ST}$, więc każdy z tych boków rozpada się na dwie części o równych długościach.
2. Oznaczenia i założenie
3. $\mathsf{M}$, $\mathsf{N}$ to punkty styczności, $\mathsf{W}$ to środek okręgu $\omega$
4. $|\mathsf{RK}|=|\mathsf{SL}|$
5. Krok 1. Drugi odcinek siecznej
6. $|\mathsf{RL}|=|\mathsf{RK}|+|\mathsf{KL}|$
7. punkty leżą na boku w kolejności $\mathsf{R}$, $\mathsf{K}$, $\mathsf{L}$, $\mathsf{S}$, więc odcinek $\mathsf{RL}$ dzieli się na dwie części
8. $|\mathsf{RL}|=|\mathsf{SL}|+|\mathsf{KL}|$
9. te same dwa odcinki, liczone od punktu $\mathsf{S}$, dają odcinek $\mathsf{SK}$
10. $|\mathsf{RL}|=\boxed{|SK|}$
11. Krok 2. Kwadraty odcinków stycznych
12. $|\mathsf{RM}{|}^2=|\mathsf{RK}|\cdot |\mathsf{RL}|$
13. kwadrat odcinka stycznej jest równy iloczynowi odcinków siecznej poprowadzonej z tego samego punktu
14. $|\mathsf{SN}{|}^2=|\mathsf{SL}|\cdot |\mathsf{SK}|$
15. to samo twierdzenie zastosowane do drugiego końca boku $\mathsf{RS}$
16. $|\mathsf{RM}{|}^2=|\mathsf{SL}|\cdot |\mathsf{SK}|$
17. oba czynniki po prawej stronie zamieniają się na odcinki wychodzące z punktu $\mathsf{S}$
18. $|\mathsf{RM}|=\boxed{|SN|}$
19. Krok 3. Złożenie boku
20. $|\mathsf{TM}|=|\mathsf{TN}|$
21. oba odcinki styczne poprowadzone z jednego punktu do okręgu mają równe długości
22. $|\mathsf{RT}|=|\mathsf{RM}|+|\mathsf{MT}|=\boxed{|ST|}$

Przystawanie trójkątów

1. Krok 1. Kąty przy cięciwie
2. $\mathsf{r}$ oznacza promień okręgu $\omega$
3. $|\mathsf{WK}|=|\mathsf{WL}|=\mathsf{r}$
4. trójkąt $\mathsf{KLW}$ jest równoramienny, bo oba ramiona są promieniami
5. $\sphericalangle \mathsf{WKL}=\sphericalangle \mathsf{WLK}$
6. w trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie mają równe miary
7. $\sphericalangle \mathsf{WKR}=\boxed{\sphericalangle WLS}$
8. Krok 2. Odległości od środka
9. $|\mathsf{RK}|=|\mathsf{SL}|,|\mathsf{WK}|=|\mathsf{WL}|$
10. para boków rozdzielona kątem z poprzedniego kroku wyznacza przystawanie
11. $△\mathsf{RKW}\cong △\mathsf{SLW}$
12. w trójkątach przystających odpowiadające sobie boki mają równe długości
13. $|\mathsf{RW}|=\boxed{|SW|}$
14. Krok 3. Odcinki styczne
15. $|\mathsf{RM}{|}^2=|\mathsf{RW}{|}^2-{\mathsf{r}}^2$
16. promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do stycznej, więc działa twierdzenie Pitagorasa
17. $|\mathsf{SN}{|}^2=|\mathsf{RW}{|}^2-{\mathsf{r}}^2$
18. prawe strony obu równości są identyczne, bo odległości od środka okręgu są równe
19. $|\mathsf{RM}|=\boxed{|SN|}$
20. Krok 4. Złożenie boku
21. $|\mathsf{TM}|=|\mathsf{TN}|$
22. drugi raz korzystamy z równości odcinków stycznych, tym razem z wierzchołka $\mathsf{T}$
23. $|\mathsf{RT}|=|\mathsf{RM}|+|\mathsf{MT}|=\boxed{|ST|}$

Zapisanie $|\mathsf{RM}{|}^2=|\mathsf{RK}|\cdot |\mathsf{KL}|$. W twierdzeniu o stycznej i siecznej drugim czynnikiem jest odległość do dalszego punktu przecięcia, czyli $|\mathsf{RL}|$, a nie długość samej cięciwy.

Warunek $0<|\mathsf{RK}|<|\mathsf{RL}|<|\mathsf{RS}|$ ustala kolejność punktów na boku. Bez niego z równości $|\mathsf{RK}|=|\mathsf{SL}|$ nie wynikałoby $|\mathsf{RL}|=|\mathsf{SK}|$.