Wyznacz okrąg styczny do boków

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: dwusieczna kąta i warunek przejścia przez początek układu

1. Dane
2. $\mathsf{C}=(11,10),\mathsf{D}=(3,12),\mathsf{M}=\left(6,7\right)$
3. Brakujące wierzchołki
4. $\mathsf{M}=\left(6,7\right)$
5. środek symetrii jest środkiem obu przekątnych, więc suma wierzchołków przeciwległych równa się podwojonemu M
6. $2M=(12,14)$
7. wierzchołek przeciwległy do danego jest jego obrazem w symetrii środkowej o środku M
8. $\mathsf{A}=\boxed{(1,4)}$
9. drugi brakujący wierzchołek wyznaczamy tak samo, odejmując od podwojonego M drugi z danych wierzchołków
10. $\mathsf{B}=\boxed{(9,2)}$
11. Prosta $\mathsf{AB}$
12. $\mathsf{A}=(1,4),\mathsf{B}=(9,2)$
13. dwa wierzchołki boku wyznaczają jego wektor kierunkowy
14. $\overrightarrow{\mathsf{AB}}=(8,-2)$
15. wektor normalny prostej jest prostopadły do jej wektora kierunkowego, bierzemy go po skróceniu przez wspólny dzielnik
16. $\overrightarrow{{\mathsf{n}}_1}=(1,4)$
17. prosta o zadanym wektorze normalnym przechodząca przez wierzchołek A
18. $\boxed{x+4y-17=0}$
19. Prosta $\mathsf{BC}$
20. $\mathsf{B}=(9,2),\mathsf{C}=(11,10)$
21. tak samo postępujemy z bokiem sąsiednim
22. $\overrightarrow{\mathsf{BC}}=(2,8)$
23. wektor normalny drugiej prostej jest prostopadły do jej wektora kierunkowego
24. $\overrightarrow{{\mathsf{n}}_2}=(4,-1)$
25. prosta o zadanym wektorze normalnym przechodząca przez wierzchołek B
26. $\boxed{4x-y-34=0}$
27. Równe odległości od obu prostych
28. $\mathsf{d}(\mathsf{S},\mathsf{AB})=\mathsf{d}(\mathsf{S},\mathsf{BC})=\mathsf{r}$
29. $\frac{|\mathsf{x}+4y-17|}{\sqrt{17}}=\frac{|4x-\mathsf{y}-34|}{\sqrt{17}}$
30. okrąg jest styczny do obu prostych, więc jego środek jest od nich równo oddalony, a oba wektory normalne mają tę samą długość, więc mianowniki się skracają
31. $\left|\mathsf{x}+4y-17\right|=\left|4x-\mathsf{y}-34\right|$
32. drugi przypadek znaku odpowiada dwusiecznej kąta zewnętrznego i prowadzi do równania bez rozwiązań, więc zostaje ten
33. $\mathsf{x}+4y-17=4x-\mathsf{y}-34$
34. porządkujemy równanie i skracamy przez wspólny dzielnik
35. $\boxed{3x-5y-17=0}$
36. Przejście przez początek układu
37. $|\mathsf{SO}|=\mathsf{r}$
38. ${\mathsf{x}}^2+{\mathsf{y}}^2=\frac{{\left(\mathsf{x}+4y-17\right)}^2}{17}$
39. kwadrat odległości środka od początku układu równa się kwadratowi promienia, czyli kwadratowi odległości środka od prostej AB
40. ${\mathsf{x}}^2+12x-64=0$
41. po podstawieniu i uporządkowaniu zostaje równanie kwadratowe z jedną niewiadomą
42. $\mathsf{x}=\boxed{4}\text{lub}\mathsf{x}=\boxed{-16}$
43. Wybór okręgu i wynik
44. $\mathsf{S}=(4,-1)\text{lub}\mathsf{S}=\left(-16,-13\right)$
45. obie wartości x po wstawieniu do równania dwusiecznej dają środki dwóch okręgów spełniających warunki styczności, wybieramy ten wskazany w treści zadania
46. $\boxed{(\mathbf{x}-4{)}^2+(\mathbf{y}+1{)}^2=17}$