Znajdź na okręgu punkt równoodległy

Rozwiązanie krok po kroku

Symetralna odcinka $\mathsf{AB}$ przecięta z okręgiem

1. Warunek $|\mathsf{AC}|=|\mathsf{BC}|$
2. punkty równoodległe od $\mathsf{A}$ i $\mathsf{B}$ leżą na symetralnej odcinka $\mathsf{AB}$
3. $\mathsf{M}=\left(\frac{8-4}{2},\frac{2+6}{2}\right)$
4. środek odcinka to średnia arytmetyczna współrzędnych jego końców
5. $\mathsf{M}=\boxed{(2,4)}$
6. Równanie symetralnej
7. $\overrightarrow{\mathsf{AB}}=[-12,4]$
8. wektor $\overrightarrow{\mathsf{AB}}$ jest prostopadły do symetralnej, więc po skróceniu bierzemy go jako wektor normalny
9. $\vec{\mathsf{n}}=[3,-1]$
10. punkt należy do symetralnej dokładnie wtedy, gdy wektor prowadzący do niego z $\mathsf{M}$ jest prostopadły do $\overrightarrow{\mathsf{AB}}$
11. $3(\mathsf{x}-2)-(\mathsf{y}-4)=0$
12. wymnażamy nawiasy i zbieramy wyrazy wolne
13. $\boxed{3x-y-2=0}$
14. Podstawienie do równania okręgu
15. $\mathsf{y}=3x-2$
16. z równania symetralnej wyznaczamy $\mathsf{y}$ i wstawiamy do równania okręgu
17. $10{\mathsf{x}}^2-20x-60=0$
18. po redukcji zostaje równanie kwadratowe z jedną niewiadomą, dzielimy je przez współczynnik przy ${\mathsf{x}}^2$
19. ${\mathsf{x}}^2-2x-6=0$
20. lewa strona zwija się do kwadratu dwumianu
21. $(\mathsf{x}-1{)}^2=7$
22. pierwiastkujemy obie strony, stąd dwie odcięte
23. $\mathsf{x}=\boxed{1+\sqrt{7}}\text{lub}\mathsf{x}=\boxed{1-\sqrt{7}}$
24. Współrzędne punktów $\mathsf{C}$
25. ${\mathsf{y}}_1=1+3\sqrt{7}$
26. pierwszą odciętą wstawiamy do równania symetralnej
27. ${\mathsf{y}}_2=1-3\sqrt{7}$
28. tak samo drugą odciętą
29. $\boxed{{\mathbf{C}}_1=(1+\sqrt{7},1+3\sqrt{7}),{\mathbf{C}}_2=(1-\sqrt{7},1-3\sqrt{7})}$

Podanie tylko jednego punktu. Symetralna przecina okrąg w dwóch punktach, więc rozwiązania są dwa i oba trzeba wypisać.