Trójkąt równoboczny w sześcianie

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: od pola wstecz do krawędzi

1. Klucz: bok trójkąta to przekątna ściany ($\mathsf{a}\sqrt{2}$), nie sama krawędź. Pole zależy więc od ${\mathsf{a}}^2$, a krawędź odzyskujemy pierwiastkując.
2. Krok 1. Bok trójkąta to przekątna ściany
3. krawędź sześcianu oznaczamy $\mathsf{a}$, bok trójkąta $\mathsf{b}$
4. $\mathsf{b}=\mathsf{a}\sqrt{2}$
5. przekątna kwadratu o boku $\mathsf{a}$ ma długość $\mathsf{a}\sqrt{2}$ (z twierdzenia Pitagorasa)
6. $\mathsf{b}=\boxed{a\sqrt{2}}$
7. Krok 2. Pole przez krawędź $\mathsf{a}$
8. wzór na pole trójkąta równobocznego: $\mathsf{S}=\frac{{\mathsf{b}}^2\sqrt{3}}{4}$
9. $\mathsf{S}=\frac{{\mathsf{b}}^2\sqrt{3}}{4}=\frac{(\mathsf{a}\sqrt{2}{)}^2\sqrt{3}}{4}$
10. $(\mathsf{a}\sqrt{2}{)}^2={\mathsf{a}}^2\cdot 2=2{\mathsf{a}}^2$
11. $\mathsf{S}=\frac{2{\mathsf{a}}^2\sqrt{3}}{4}$
12. skracamy $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
13. $\mathsf{S}=\boxed{\frac{a^2\sqrt{3}}{2}}$
14. Krok 3. Wyznacz krawędź
15. dane pole $8\sqrt{3}$ przyrównujemy do wzoru
16. $\frac{{\mathsf{a}}^2\sqrt{3}}{2}=8\sqrt{3}$
17. $\sqrt{3}$ skraca się po obu stronach, mnożymy przez $2$
18. ${\mathsf{a}}^2=2\cdot 8=16$
19. krawędź jest dodatnia, więc bierzemy pierwiastek arytmetyczny
20. $\mathsf{a}=4=\boxed{4}$

Najczęstsza pomyłka: przyjęcie boku trójkąta za krawędź sześcianu - bok jest $\sqrt{2}$ razy dłuższy. Druga pułapka: zapomnienie pierwiastka przy przejściu z ${\mathsf{a}}^2$ do $\mathsf{a}$.