Przekrój ostrosłupa: trapez

Rozwiązanie krok po kroku

Przekrój osiowy: krok po kroku

1. Kąt nachylenia ściany bocznej
2. $\beta +45^{\circ }=90^{\circ }$
3. płaszczyzna $\gamma$ i ściana $\mathsf{BCS}$ są prostopadłe do przekroju osiowego ostrosłupa, więc kąt między nimi widać między ich śladami w tym przekroju - prostopadłość $\gamma$ do ściany oznacza, że $\beta$ i $45^{\circ }$ dopełniają się do $90^{\circ }$
4. $\beta =\boxed{45^{\circ }}$
5. Krawędź podstawy i wysokość
6. $\mathrm{tg}\beta =\frac{\mathsf{H}}{\frac{\mathsf{a}}{2}}\Rightarrow \mathsf{H}=\frac{\mathsf{a}}{2}\mathrm{tg}45^{\circ }=\frac{\mathsf{a}}{2}$
7. wysokość $\mathsf{H}$, odcinek od środka podstawy do środka krawędzi (długość $\frac{\mathsf{a}}{2}$) i kąt $\beta$ tworzą trójkąt prostokątny; podstawiając $\mathsf{H}$ wyrażamy daną wielkość przez samo $\mathsf{a}$
8. $\mathsf{V}=\frac{{\mathsf{a}}^3}{6}=\frac{4}{3}$
9. przyrównujemy wyrażenie do wartości podanej w treści zadania
10. $\mathsf{a}=\boxed{2},\mathsf{H}=\boxed{1}$
11. Położenie punktów M, N i odcinek MN
12. $\mathsf{s}=\frac{|\mathsf{CM}|}{|\mathsf{CS}|}:\mathsf{s}\mathsf{H}=\frac{\mathsf{a}}{2}(1-\mathsf{s})\mathrm{tg}45^{\circ }$
13. lewa strona to wysokość punktu $\mathsf{M}$ nad podstawą (ułamek $\mathsf{s}$ drogi po krawędzi $\mathsf{CS}$), prawa - wysokość płaszczyzny $\gamma$ nad tym samym punktem podstawy; $\mathsf{M}$ leży w obu, więc są równe
14. $\mathsf{s}\mathrm{tg}45^{\circ }=(1-\mathsf{s})\mathrm{tg}45^{\circ }\Rightarrow \mathsf{s}=\boxed{\frac{1}{2}}$
15. przekrój ostrosłupa na ułamku $\mathsf{s}$ wysokości jest kwadratem o boku $\mathsf{a}(1-\mathsf{s})$, a $\mathsf{MN}$ jest bokiem tego kwadratu
16. $|\mathsf{MN}|=2\cdot \frac{1}{2}=\boxed{1}$
17. Wysokość trapezu
18. $\mathsf{h}=\frac{\frac{\mathsf{a}}{2}(1-\mathsf{s})}{\cos 45^{\circ }}$
19. rzut wysokości trapezu na podstawę łączy środek $\mathsf{KL}$ z rzutem środka $\mathsf{MN}$ i ma długość $\frac{\mathsf{a}}{2}(1-\mathsf{s})$, a sama wysokość leży w płaszczyźnie $\gamma$ nachylonej pod kątem $45^{\circ }$
20. $\mathsf{h}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\boxed{\frac{\sqrt{2}}{2}}$
21. Pole trapezu
22. $\mathsf{P}=\frac{|\mathsf{KL}|+|\mathsf{MN}|}{2}\cdot \mathsf{h}$
23. $\mathsf{KL}$ i $\mathsf{MN}$ to podstawy trapezu, przy czym $|\mathsf{KL}|=\mathsf{a}$
24. $\mathsf{P}=\frac{2+1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\boxed{\frac{3\sqrt{2}}{4}}$

Odcinek $\mathsf{KM}$ o długości $\frac{\sqrt{11}}{2}$ to przekątna trapezu, nie ramię - licząc odległości punktów w przestrzeni łatwo je pomylić (ramiona to $\mathsf{LM}$ i $\mathsf{NK}$).