Oblicz stosunek pól ostrosłupa

Rozwiązanie krok po kroku

Rzut środkowej podstawy na krawędź boczną

1. Wynik nie zależy od długości krawędzi, tylko od stosunku $\mathsf{l}$ do $\mathsf{a}$, dlatego wystarczyła sama proporcja odcinków na krawędzi bocznej.
2. Dane
3. $\mathsf{a}$ krawędź podstawy, $\mathsf{l}$ krawędź boczna, $\mathsf{M}$ środek krawędzi $\mathsf{AB}$
4. $\frac{|\mathsf{WF}|}{|\mathsf{CF}|}=\frac{61}{6}$
5. Położenie punktu $\mathsf{F}$
6. $\mathsf{AB}\perp \mathsf{CM},\mathsf{AB}\perp \mathsf{WM}$
7. W trójkącie równobocznym $\mathsf{ABC}$ oraz w trójkątnej ścianie równoramiennej środkowa poprowadzona do krawędzi $\mathsf{AB}$ jest jej wysokością. Prosta prostopadła do dwóch przecinających się prostych płaszczyzny jest prostopadła do całej płaszczyzny.
8. $|\mathsf{MF}|\perp \mathsf{CW}$
9. Płaszczyzna przekroju zawiera $\mathsf{AB}$, więc jest prostopadła do płaszczyzny $\mathsf{CWM}$ i przecina ją wzdłuż odcinka $|\mathsf{MF}|$. Punkt $\mathsf{F}$ jest zatem spodkiem wysokości trójkąta $\mathsf{CWM}$ opuszczonej z wierzchołka $\mathsf{M}$.
10. $|\mathsf{CM}{|}^2-|\mathsf{CF}{|}^2=|\mathsf{MF}{|}^2=|\mathsf{WM}{|}^2-|\mathsf{WF}{|}^2$
11. Wysokość $|\mathsf{MF}|$ rozcina trójkąt $\mathsf{CWM}$ na dwa trójkąty prostokątne o wspólnej przyprostokątnej. Odcinek $|\mathsf{WM}|$ jest wysokością ściany bocznej, a $|\mathsf{WF}|=\mathsf{l}-|\mathsf{CF}|$.
12. $\frac{3{\mathsf{a}}^2}{4}-|\mathsf{CF}{|}^2={\mathsf{l}}^2-\frac{{\mathsf{a}}^2}{4}-{\left(\mathsf{l}-|\mathsf{CF}|\right)}^2$
13. Po rozwinięciu kwadratu po prawej stronie znoszą się składniki z $|\mathsf{CF}{|}^2$ oraz z ${\mathsf{l}}^2$.
14. ${\mathsf{a}}^2=2l\cdot |\mathsf{CF}|$
15. Dzielimy obie strony przez podwojoną krawędź boczną.
16. $|\mathsf{CF}|=\boxed{\frac{a^2}{2l}}$
17. Krawędź boczna z danej
18. $\frac{|\mathsf{WF}|}{|\mathsf{CF}|}=\frac{61}{6}$
19. Każdą postać danej sprowadzamy do udziału odcinka $|\mathsf{CF}|$ w całej krawędzi $|\mathsf{CW}|$, korzystając z równości $|\mathsf{CW}|=|\mathsf{CF}|+|\mathsf{WF}|$.
20. $\frac{|\mathsf{CF}|}{|\mathsf{CW}|}=\frac{6}{67}$
21. Podstawiamy wynik poprzedniego etapu oraz długość krawędzi bocznej.
22. $\frac{{\mathsf{a}}^2}{2{\mathsf{l}}^2}=\frac{6}{67}$
23. Odwracamy obie strony i dzielimy przez dwa.
24. $\frac{{\mathsf{l}}^2}{{\mathsf{a}}^2}=\boxed{\frac{67}{12}}$
25. Wysokość ściany bocznej i pole boczne
26. $\mathsf{h}$ wysokość ściany bocznej, ${\mathsf{P}}_{\mathsf{b}}$ pole powierzchni bocznej
27. ${\left(\frac{\mathsf{h}}{\mathsf{a}}\right)}^2=\frac{{\mathsf{l}}^2}{{\mathsf{a}}^2}-\frac{1}{4}$
28. Wysokość ściany bocznej, krawędź boczna i połowa krawędzi podstawy tworzą trójkąt prostokątny. Obie strony dzielimy przez ${\mathsf{a}}^2$.
29. ${\left(\frac{\mathsf{h}}{\mathsf{a}}\right)}^2=\frac{67}{12}-\frac{1}{4}=\frac{16}{3}$
30. Pierwiastkujemy, długości są dodatnie.
31. $\frac{\mathsf{h}}{\mathsf{a}}=\boxed{\frac{4\sqrt{3}}{3}}$
32. Powierzchnia boczna składa się z trzech przystających trójkątów o podstawie $\mathsf{a}$ i wysokości $\mathsf{h}$.
33. $\frac{{\mathsf{P}}_{\mathsf{b}}}{{\mathsf{a}}^2}=\frac{3}{2}\cdot \frac{4\sqrt{3}}{3}=\boxed{2\sqrt{3}}$
34. Szukany stosunek pól
35. $\frac{{\mathsf{P}}_{\mathsf{p}}}{{\mathsf{a}}^2}=\frac{\sqrt{3}}{4}$
36. Podstawą jest trójkąt równoboczny o boku $\mathsf{a}$. Dzielimy pole boczne przez pole podstawy.
37. $\frac{{\mathsf{P}}_{\mathsf{b}}}{{\mathsf{P}}_{\mathsf{p}}}=2\sqrt{3}\cdot \frac{4}{\sqrt{3}}=\boxed{8}$
38. Powierzchnia całkowita to suma pola bocznego i pola podstawy.
39. $\frac{{\mathsf{P}}_{\mathsf{p}}}{{\mathsf{P}}_{\mathsf{c}}}=\frac{1}{8+1}=\boxed{\frac{1}{9}}$

Najczęstsza pomyłka: użycie wysokości ostrosłupa zamiast wysokości ściany bocznej, czyli odjęcie $\frac{1}{3}$ zamiast $\frac{1}{4}$ w twierdzeniu Pitagorasa. Wysokość bryły opiera się na promieniu okręgu opisanego na podstawie, a wysokość ściany bocznej na połowie krawędzi podstawy.

Rzut $|\mathsf{CF}|=\frac{{\mathsf{a}}^2}{2l}$ pokazuje, że punkt $\mathsf{F}$ leży wewnątrz krawędzi tylko wtedy, gdy $2{\mathsf{l}}^2>{\mathsf{a}}^2$. Dla ostrosłupa prawidłowego trójkątnego zawsze $\mathsf{l}>\frac{\mathsf{a}\sqrt{3}}{3}$, więc warunek jest spełniony.