Oblicz tangens kąta środkowej

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: wysokość z wierzchołka i rzut środkowej

1. Dla kąta $2\alpha$ przy wierzchołku $\mathsf{M}$ wysokość $\mathsf{PH}$ i odcinek $\mathsf{HQ}$ wyrażają się przez $\mathsf{MP}$, więc długość $\mathsf{MP}$ skraca się w ilorazie.
2. Kąty trójkąta
3. $|\angle \mathsf{NMP}|=2\alpha ,|\angle \mathsf{MNP}|=\alpha ,|\angle \mathsf{MPN}|=180^{\circ }-3\alpha$
4. Podstawa z twierdzenia sinusów
5. $\frac{\mathsf{MN}}{\sin |\angle \mathsf{MPN}|}=\frac{\mathsf{MP}}{\sin |\angle \mathsf{MNP}|}$
6. kąty przyległe mają równe sinusy, więc sinus kąta przy wierzchołku $\mathsf{P}$ zapisujemy jednym składnikiem
7. $\mathsf{MN}=\frac{\mathsf{MP}\sin 3\alpha }{\sin \alpha }$
8. iloraz sprowadzamy do sumy cosinusów wzorami na sinus sumy kątów
9. $\mathsf{MN}=\boxed{MP(1+2\cos 2\alpha )}$
10. Rzut wierzchołka $\mathsf{P}$ na podstawę
11. $\mathsf{H}$ to spodek wysokości poprowadzonej z $\mathsf{P}$
12. $\mathsf{MQ}=\frac{\mathsf{MN}}{2}=\frac{\mathsf{MP}(1+2\cos 2\alpha )}{2}$
13. przyprostokątne trójkąta $\mathsf{MHP}$ wyrażamy przez przeciwprostokątną $\mathsf{MP}$ i kąt $2\alpha$
14. $\mathsf{HQ}=\mathsf{MQ}-\mathsf{MH}=\frac{\mathsf{MP}(1+2\cos 2\alpha )}{2}-\mathsf{MP}\cos 2\alpha$
15. składniki z $\cos 2\alpha$ znoszą się, zostaje wyrażenie zależne od $\sin \alpha$
16. $\mathsf{HQ}=\boxed{\frac{MP}{2}}$
17. Tangens kąta $\beta$
18. $\mathrm{tg}\beta =\frac{\mathsf{PH}}{\mathsf{HQ}}=\frac{\mathsf{MP}\sin 2\alpha }{\frac{\mathsf{MP}}{2}}$
19. w trójkącie prostokątnym $\mathsf{PHQ}$ tangens to iloraz przyprostokątnych
20. $\mathrm{tg}\beta =\frac{2\sin \alpha \sin 2\alpha }{\sin \alpha }=\boxed{2\sin 2\alpha }$
21. Wartość wyrażenia
22. $\frac{\mathrm{tg}\beta }{2\sin |\angle \mathsf{NMP}|}$
23. wstawiamy tangens w postaci ogólnej i skracamy $\sin 2\alpha$
24. $\frac{\mathrm{tg}\beta }{2\sin |\angle \mathsf{NMP}|}=\frac{1}{2}\cdot \frac{2\sin \alpha }{\sin \alpha }$
25. licznik i mianownik zawierają $\sin \alpha$
26. $\frac{\mathrm{tg}\beta }{2\sin |\angle \mathsf{NMP}|}=\boxed{1}$

Trójkąt jest ostrokątny, więc $\alpha$ spełnia warunek $\frac{90^{\circ }}{3}<\alpha <\frac{90^{\circ }}{2}$ i punkt $\mathsf{H}$ leży między $\mathsf{M}$ a $\mathsf{Q}$.