Oblicz kąt ze stosunku pól

W trójkącie równoramiennym ABC, w którym |AB| = |AC| oraz |∠ BAC| = 150°, punkt D leży na boku BC. Ramiona tego trójkąta mają długość 10. Stosunek długości odcinka DC do długości odcinka BD jest równy 1+√(3). Oblicz długość odcinka BD.

Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.

Rozwiązanie krok po kroku

Stosunek pól sprowadzony do jednego kąta

  1. Pola przez sinusy
  2. α = |∠ DAC|, β = |∠ BAD|, α + β = 150°
  3. P_ ABD P_ ADC = 1/2 · |AB| · |AD| · β/1/2 · |AC| · |AD| · α
  4. Oba trójkąty mają wspólny bok AD, a ramiona AB i AC są równe, więc skracają się.
  5. P_ ABD P_ ADC = β/ α
  6. Od odcinków do pól
  7. |BD|/|DC|
  8. Trójkąty ABD i ADC mają tę samą wysokość opuszczoną z wierzchołka A, więc ich pola są proporcjonalne do podstaw.
  9. |BD|/|DC| = P_ ABD P_ ADC = β/ α
  10. Odwróć daną
  11. α/ β = 1+√(3)
  12. Dana opisuje stosunek w odwrotnej kolejności, niż potrzebny do równania.
  13. β/ α = √(3)-1/2
  14. Jedna niewiadoma zamiast dwóch
  15. ( 150° - α)/ α = √(3)-1/2
  16. Z sumy kątów przy wierzchołku A mamy β = 150° - α, więc zostaje jedna niewiadoma.
  17. 150° α - 150° α/ α = √(3)-1/2
  18. α > 0, bo α jest kątem trójkąta, więc dzielenie jest dozwolone.
  19. 150° · ctgα - 150° = √(3)-1/2
  20. Iloraz α/ α to cotangens kąta α.
  21. ctgα = √(3)-1/2 - √(3)/2 / 1/2 = -1
  22. W przedziale kątów trójkąta cotangens jest różnowartościowy, więc rozwiązanie jest dokładnie jedno.
  23. α = 135°
  24. Twierdzenie sinusów w trójkącie ABD
  25. |∠ BAD| = 15°, |∠ ADB| = 150°
  26. |BD|/ 15° = 10 / 150°
  27. Naprzeciw boku BD leży kąt BAD, a naprzeciw ramienia AB kąt ADB.
  28. |BD| = 10 · √(6)-√(2)/4 / 1/2 = 5√(6)-5√(2)

Przyrównanie stosunku pól do stosunku ramion. Ramiona AB i AC są równe, ale pola części równe nie są, bo decyduje o nich sinus kąta przy wierzchołku A.

Inne zadania z tego tematu

Wszystkie zadania z tematu Równania i nierówności trygonometryczne