Przekształć zmienną normalną
Zmienna losowa X ma rozkład normalny o wartości średniej -8 i odchyleniu standardowym 8. Niech Y = 2X + 4. (a) Wyznacz E(Y) oraz Var(Y). (b) Wiedząc, że Y ma również rozkład normalny, oblicz P(-44 < Y < -28).
Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.
Rozwiązanie krok po kroku
Własności E i Var oraz standaryzacja
- Dane
- E(X) = -8, D(X) = 8, Y = 2X + 4
- Wartość oczekiwana
- E(Y) = E(2X + 4)
- wartość oczekiwana jest liniowa
- E(Y) = 2 · (-8) + 4 = -12
- Wariancja i odchylenie
- Var(Y) = Var(2X + 4)
- przesunięcie o stałą nie zmienia wariancji, a współczynnik wychodzi w kwadracie
- Var(Y) = (2)^2 · Var(X)
- wariancja to kwadrat odchylenia standardowego
- Var(Y) = (2)^2 · 64 = 256
- odchylenie standardowe to pierwiastek z wariancji
- D(Y) = 16
- Prawdopodobieństwo
- P(-44 < Y < -28)
- standaryzujemy oba progi przedziału
- P(-2 < Z < -1)
- różnica dystrybuant: Φ(-1) = 0.16, Φ(-2) = 0.025
- 0.16 - 0.025 = 0.135
Rozkład normalny jest ciągły, więc P(Y = t) = 0 i ostrość nierówności nie zmienia wyniku: P(Y > t) = P(Y ≥ t).