Oblicz stałą i prawdopodobieństwo

Opóźnienie pociągu (w minutach) na losowo wybranym kursie jest zmienną losową X o gęstości f . Przy tym f(x) = C(12 - x)^ 2 dla x (2, 7) oraz f(x) = 0 dla pozostałych x .

Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.

Rozwiązanie krok po kroku

Od warunku normalizacji do wielkości rozkładu

  1. Cały rachunek stoi na jednym podstawieniu: u = 12 - x zamienia gęstość w zwykłą potęgę, a wtedy stała, dystrybuanta i momenty wychodzą z tej samej całki, różniącej się wyłącznie wykładnikiem. Wynik kroku (a) jest dokładny, wynik kroku (b) podajemy z dokładnością do czterech miejsc po przecinku.
  2. Dane
  3. poza tym przedziałem gęstość jest zerem
  4. f(x) = C(12 - x)^ 2 , x (2, 7)
  5. Zmienna pomocnicza
  6. gęstość zależy od x tylko przez tę różnicę, więc cały rachunek prowadzimy w u
  7. u = 12 - x, x (2, 7) u [5, 10]
  8. Krok (a). Stała C
  9. Stała jest tak dobrana, żeby całe pole pod gęstością wyniosło jeden.
  10. _ - ^ f(x) ,dx = 1
  11. całkę zawężamy do przedziału, na którym gęstość nie jest zerem
  12. _ 2 ^ 7 C(12 - x)^ 2 ,dx = 1
  13. przy podstawieniu malejącym minus z du znosi się z zamianą granic całkowania
  14. C _ 5 ^ 10 u^ 2 ,du = 1
  15. wykładnik rośnie o jeden, a całość dzielimy przez nowy wykładnik
  16. C 1000 - 125 3 = 1
  17. stała jest odwrotnością policzonej całki, czyli C = 3 875
  18. C = 3 875
  19. Krok (b). Przedział wokół średniej
  20. Wartość bezwzględna odległości mniejsza od 2 to przedział o środku w E(X) .
  21. P(|X - E(X)| < 2) = P(E(X) - 2 < X < E(X) + 2)
  22. bez środka przedziału nie da się wskazać jego krańców
  23. E(X) = 12 - E(U), E(U) = 3 875 9375 4 = 225 28
  24. moment liczymy na osi u , a potem cofamy podstawienie
  25. E(X) = 12 - 225 28 = 111 28
  26. krańce przedziału to E(X) 2
  27. P( ) = F(E(X) + 2) - F(E(X) - 2) = 0 , 8916 - 0 , 0000
  28. obie wartości dystrybuanty liczymy tym samym wzorem, każdą w swoim krańcu
  29. P(|X - E(X)| < 2) 0 , 8916
  30. Odpowiedzi
  31. (a) 3 875 (b) 0 , 8916

Dwie pomyłki wracają najczęściej: pominięcie dolnej granicy całkowania (nośnik zaczyna się w 2 , a nie w zerze, więc od wartości w górnym krańcu trzeba odjąć wartość w dolnym) oraz całkowanie bez dzielenia przez nowy wykładnik. Obie prowadzą do stałej, przy której pole pod gęstością nie wynosi jeden, co warto sprawdzić na końcu.