Oblicz wariancję i dystrybuantę

Zmienna losowa X oznacza liczbę połączeń odebranych na infolinii w losowo wybranej minucie. Dystrybuanta F(x)=P(X x) zmiennej X przyjmuje w punktach 6, 7, 9, 10 wartości podane w tabeli. Wartości w odpowiedziach kroku pierwszego zaokrąglono do dwóch miejsc po przecinku.

Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.

Rozwiązanie krok po kroku

Od tabeli rozkładu do miary i dystrybuanty

  1. Krok (a) opisuje cały rozkład jedną liczbą, krok (b) czyta z niego prawdopodobieństwo pojedynczego zdarzenia. Oba korzystają z tej samej tabeli, ale wynik kroku (b) jest dokładny, a wynik kroku (a) podajemy z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.
  2. Rozkład odczytany z dystrybuanty
  3. wysokość skoku w punkcie to prawdopodobieństwo tej wartości
  4. f(x_i) = F(x_i) - F(x_ i-1 ), f(6) = F(6)
  5. Rozkład zmiennej X
  6. Krok (a). Wariancja przekształconej zmiennej
  7. We wzorze Var (aX+b) litera a to liczba stojąca przy X , a b to liczba dodawana obok. Obie odczytujemy wprost z polecenia.
  8. Var (aX+b) = a^2 Var (X)
  9. wyraz wolny b tylko przesuwa wszystkie wartości, więc rozrzut zostaje ten sam i b znika ze wzoru
  10. 2X-1 a = 2 , b = -1
  11. podstawiamy odczytane a , więc zostaje policzyć samo Var (X)
  12. Var (X) = E(X^2) - [ E(X) ]^2
  13. do wariancji potrzebne są dwie liczby: E(X) oraz E(X^2)
  14. E(X) = 6 f(6) + 7 f(7) + 9 f(9) + 10 f(10)
  15. każdą wartość zmiennej mnożymy przez jej prawdopodobieństwo, a iloczyny dodajemy
  16. E(X) = 6 0,20 + 7 0,30 + 9 0,30 + 10 0,20
  17. w miejsce f(x) wstawiliśmy liczby z tabeli rozkładu
  18. E(X) = 1,20 + 2,10 + 2,70 + 2 = 8
  19. wracamy do tej samej tabeli, tym razem z kwadratami wartości
  20. E(X^2) = 6^2 f(6) + 7^2 f(7) + 9^2 f(9) + 10^2 f(10)
  21. ten sam schemat co przy E(X) , tylko każdą wartość podnosimy do kwadratu
  22. E(X^2) = 6^2 0,20 + 7^2 0,30 + 9^2 0,30 + 10^2 0,20
  23. prawdopodobieństwa są te same, zmieniły się tylko liczby przed nimi
  24. E(X^2) = 7,20 + 14,70 + 24,30 + 20 = 66,20
  25. obie liczby gotowe, zostaje odejmowanie
  26. Var (X) = 66,20 - ( 8 )^2 = 2,20
  27. wariancję mnożymy przez kwadrat liczby stojącej przy X
  28. Var (2X-1) = (2)^2 2,20 = 8,80
  29. Krok (b). Prawdopodobieństwo pojedynczej wartości
  30. f(10) = F(10) - F(9)
  31. prawdopodobieństwo wartości to przyrost dystrybuanty w tym punkcie
  32. f(10) = 1 - 0,80 = 0,20
  33. Odpowiedzi
  34. (a) 8,80 (b) 0,20

Dwie pomyłki wracają najczęściej: E(X^2) liczone jako [E(X)]^2 (kwadraty trzeba podnieść przed uśrednianiem, nie po) oraz pominięcie punktu skoku w dystrybuancie. Wartość F(x) w samym punkcie skoku zależy od przyjętej konwencji, dlatego treść ją podaje, gdy pytanie dotyczy dokładnie takiego punktu.