Trapez: pola trójkątów z przekątnych
Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.
Rozwiązanie krok po kroku
Klasyczny: podobieństwo, potem pola czterech trójkątów
- Wszystkie zależności wynikają z jednej skali k: długości i obwody są w stosunku k, a pola w stosunku k^2.
- Krok 1. Oznaczenia
- pola liczymy w jednostce S
- |AB| = 3 · |CD| P_ CDE = S
- Krok 2. Podobieństwo trójkątów przy przekątnych
- ∠ EAB = ∠ ECD ∠ EBA = ∠ EDC
- przekątne przecinają proste równoległe, więc powstają kąty naprzemianległe
- ABE CDE
- dwa kąty jednego trójkąta są równe dwóm kątom drugiego
- |AE|/|EC| = |AB|/|CD| = 3
- Krok 3. Pola czterech trójkątów
- P_ ABE P_ CDE = 3^ 2
- pola figur podobnych mają się jak kwadrat skali podobieństwa
- P_ ABE = 9S
- P_ ABE P_ BCE = |AE|/|EC| = 3
- oba trójkąty mają podstawy na przekątnej AC, więc ich pola są w stosunku podstaw
- P_ BCE = 3S
- P_ AED = P_ BCE = 3S
- trójkąty ABC i ABD mają wspólną podstawę AB i równe wysokości, więc po odjęciu wspólnej części ABE zostają równe pola
- Krok 4. Pole trapezu
- suma czterech trójkątów
- P_ ABCD = 9S + 2 · 3S + S = 16S
Punkt E dzieli przekątną AC w stosunku 3:1 licząc od A - to nie jest stosunek 1:1, więc E nie jest środkiem przekątnej. Obwody trójkątów ABE i CDE są w stosunku 3, a nie 9 - kwadrat skali dotyczy wyłącznie pól.