Wykaż równoramienność trójkąta
Okrąg jest styczny do boków RT i ST trójkąta RST oraz przecina bok RS tego trójkąta w punktach K oraz L, przy czym 0 < |RK| < |RL| < |RS|. Wykaż, że jeśli |RK| = |SL|, to punkt T leży na symetralnej odcinka RS.
Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.
Rozwiązanie krok po kroku
Odcinki stycznej i siecznej
- Punkt styczności M leży wewnątrz boku RT, a N wewnątrz boku ST, więc każdy z tych boków rozpada się na dwie części o równych długościach.
- Oznaczenia i założenie
- M, N to punkty styczności, W to środek okręgu
- |RK| = |SL|
- Krok 1. Drugi odcinek siecznej
- |RL| = |RK| + |KL|
- punkty leżą na boku w kolejności R, K, L, S, więc odcinek RL dzieli się na dwie części
- |RL| = |SL| + |KL|
- te same dwa odcinki, liczone od punktu S, dają odcinek SK
- |RL| = |SK|
- Krok 2. Kwadraty odcinków stycznych
- |RM|^2 = |RK| · |RL|
- kwadrat odcinka stycznej jest równy iloczynowi odcinków siecznej poprowadzonej z tego samego punktu
- |SN|^2 = |SL| · |SK|
- to samo twierdzenie zastosowane do drugiego końca boku RS
- |RM|^2 = |SL| · |SK|
- oba czynniki po prawej stronie zamieniają się na odcinki wychodzące z punktu S
- |RM| = |SN|
- Krok 3. Złożenie boku
- |TM| = |TN|
- oba odcinki styczne poprowadzone z jednego punktu do okręgu mają równe długości
- |RT| = |RM| + |MT| = |ST|
Przystawanie trójkątów
- Krok 1. Kąty przy cięciwie
- r oznacza promień okręgu
- |WK| = |WL| = r
- trójkąt KLW jest równoramienny, bo oba ramiona są promieniami
- WKL = WLK
- w trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie mają równe miary
- WKR = WLS
- Krok 2. Odległości od środka
- |RK| = |SL|, |WK| = |WL|
- para boków rozdzielona kątem z poprzedniego kroku wyznacza przystawanie
- RKW SLW
- w trójkątach przystających odpowiadające sobie boki mają równe długości
- |RW| = |SW|
- Krok 3. Odcinki styczne
- |RM|^2 = |RW|^2 - r^2
- promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do stycznej, więc działa twierdzenie Pitagorasa
- |SN|^2 = |RW|^2 - r^2
- prawe strony obu równości są identyczne, bo odległości od środka okręgu są równe
- |RM| = |SN|
- Krok 4. Złożenie boku
- |TM| = |TN|
- drugi raz korzystamy z równości odcinków stycznych, tym razem z wierzchołka T
- |RT| = |RM| + |MT| = |ST|
Zapisanie |RM|^2 = |RK| · |KL|. W twierdzeniu o stycznej i siecznej drugim czynnikiem jest odległość do dalszego punktu przecięcia, czyli |RL|, a nie długość samej cięciwy.
Warunek 0 < |RK| < |RL| < |RS| ustala kolejność punktów na boku. Bez niego z równości |RK| = |SL| nie wynikałoby |RL| = |SK|.