Wyznacz okrąg styczny do boków
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) dany jest równoległobok ABCD o wierzchołkach C = (11, 10) i D = (3, 12) oraz środku symetrii M = ≤ft(6, 7). Okrąg O przechodzi przez początek tego układu i jest styczny do prostych zawierających boki AB i BC tego równoległoboku. Pierwsza współrzędna środka okręgu O jest liczbą dodatnią. Wyznacz równanie okręgu O.
Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.
Rozwiązanie krok po kroku
Klasyczny: dwusieczna kąta i warunek przejścia przez początek układu
- Dane
- C = (11, 10), D = (3, 12), M = ≤ft(6, 7)
- Brakujące wierzchołki
- M = ≤ft(6, 7)
- środek symetrii jest środkiem obu przekątnych, więc suma wierzchołków przeciwległych równa się podwojonemu M
- 2M = (12, 14)
- wierzchołek przeciwległy do danego jest jego obrazem w symetrii środkowej o środku M
- A = (1, 4)
- drugi brakujący wierzchołek wyznaczamy tak samo, odejmując od podwojonego M drugi z danych wierzchołków
- B = (9, 2)
- Prosta AB
- A = (1, 4),; B = (9, 2)
- dwa wierzchołki boku wyznaczają jego wektor kierunkowy
- AB = (8, -2)
- wektor normalny prostej jest prostopadły do jej wektora kierunkowego, bierzemy go po skróceniu przez wspólny dzielnik
- n_1 = (1, 4)
- prosta o zadanym wektorze normalnym przechodząca przez wierzchołek A
- x + 4y - 17 = 0
- Prosta BC
- B = (9, 2),; C = (11, 10)
- tak samo postępujemy z bokiem sąsiednim
- BC = (2, 8)
- wektor normalny drugiej prostej jest prostopadły do jej wektora kierunkowego
- n_2 = (4, -1)
- prosta o zadanym wektorze normalnym przechodząca przez wierzchołek B
- 4x - y - 34 = 0
- Równe odległości od obu prostych
- d(S, AB) = d(S, BC) = r
- ≤ft|x + 4y - 17 |/√(17) = ≤ft|4x - y - 34 |/√(17)
- okrąg jest styczny do obu prostych, więc jego środek jest od nich równo oddalony, a oba wektory normalne mają tę samą długość, więc mianowniki się skracają
- ≤ft|x + 4y - 17 | = ≤ft|4x - y - 34 |
- drugi przypadek znaku odpowiada dwusiecznej kąta zewnętrznego i prowadzi do równania bez rozwiązań, więc zostaje ten
- x + 4y - 17 = 4x - y - 34
- porządkujemy równanie i skracamy przez wspólny dzielnik
- 3x - 5y - 17 = 0
- Przejście przez początek układu
- |SO| = r
- x^2 + y^2 = ≤ft(x + 4y - 17)^2/ 17
- kwadrat odległości środka od początku układu równa się kwadratowi promienia, czyli kwadratowi odległości środka od prostej AB
- x^2 + 12x - 64 = 0
- po podstawieniu i uporządkowaniu zostaje równanie kwadratowe z jedną niewiadomą
- x = 4 lub x = -16
- Wybór okręgu i wynik
- S = (4, -1) lub S = ≤ft(-16, -13)
- obie wartości x po wstawieniu do równania dwusiecznej dają środki dwóch okręgów spełniających warunki styczności, wybieramy ten wskazany w treści zadania
- (x - 4)^2 + (y + 1)^2 = 17