Znajdź na okręgu punkt równoodległy
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) dany jest okrąg o równaniu (x-1)^2 + (y-1)^2 = 70 oraz punkty A = (8, 2) i B = (-4, 6). Punkt C leży na tym okręgu i |AC| = |BC|. Oblicz współrzędne punktu C.
Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.
Rozwiązanie krok po kroku
Symetralna odcinka AB przecięta z okręgiem
- Warunek |AC| = |BC|
- punkty równoodległe od A i B leżą na symetralnej odcinka AB
- M = ≤ft( 8 - 4 /2, 2 + 6 /2)
- środek odcinka to średnia arytmetyczna współrzędnych jego końców
- M = (2, 4)
- Równanie symetralnej
- AB = [-12, 4]
- wektor AB jest prostopadły do symetralnej, więc po skróceniu bierzemy go jako wektor normalny
- n = [3, -1]
- punkt należy do symetralnej dokładnie wtedy, gdy wektor prowadzący do niego z M jest prostopadły do AB
- 3(x-2)-(y-4) = 0
- wymnażamy nawiasy i zbieramy wyrazy wolne
- 3x-y-2 = 0
- Podstawienie do równania okręgu
- y = 3x-2
- z równania symetralnej wyznaczamy y i wstawiamy do równania okręgu
- 10x^2 -20x -60 = 0
- po redukcji zostaje równanie kwadratowe z jedną niewiadomą, dzielimy je przez współczynnik przy x^2
- x^2 -2x -6 = 0
- lewa strona zwija się do kwadratu dwumianu
- (x -1)^2 = 7
- pierwiastkujemy obie strony, stąd dwie odcięte
- x = 1+√(7) lub x = 1-√(7)
- Współrzędne punktów C
- y_1 = 1+3√(7)
- pierwszą odciętą wstawiamy do równania symetralnej
- y_2 = 1-3√(7)
- tak samo drugą odciętą
- C_1 = (1+√(7), 1+3√(7)), C_2 = (1-√(7), 1-3√(7))
Podanie tylko jednego punktu. Symetralna przecina okrąg w dwóch punktach, więc rozwiązania są dwa i oba trzeba wypisać.