Przekrój ostrosłupa: trapez

Ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS o podstawie ABCD ma objętość równą 4/3. Ten ostrosłup przecięto płaszczyzną γ, która: - jest prostopadła do ściany bocznej BCS ostrosłupa, - przechodzi przez środek K krawędzi AB oraz środek L krawędzi CD, - przecina krawędź boczną CS w punkcie M oraz krawędź boczną BS w punkcie N, - tworzy z płaszczyzną podstawy ABCD kąt o mierze 45°. Przekrój KLMN wyznaczony przez płaszczyznę γ jest trapezem równoramiennym. Oblicz pole trapezu KLMN.

Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.

Rozwiązanie krok po kroku

Przekrój osiowy: krok po kroku

  1. Kąt nachylenia ściany bocznej
  2. β + 45° = 90°
  3. płaszczyzna γ i ściana BCS są prostopadłe do przekroju osiowego ostrosłupa, więc kąt między nimi widać między ich śladami w tym przekroju - prostopadłość γ do ściany oznacza, że β i 45° dopełniają się do 90°
  4. β = 45°
  5. Krawędź podstawy i wysokość
  6. tg,β = H a/2;; H = a 2,tg,45° = #E53A3A a/2
  7. wysokość H, odcinek od środka podstawy do środka krawędzi (długość a/2) i kąt β tworzą trójkąt prostokątny; podstawiając H wyrażamy daną wielkość przez samo a
  8. V = a^3/6 = #DFC173 4/3
  9. przyrównujemy wyrażenie do wartości podanej w treści zadania
  10. a = 2, H = 1
  11. Położenie punktów M, N i odcinek MN
  12. s = |CM| |CS|: s,H = a 2 (1-s),tg,45°
  13. lewa strona to wysokość punktu M nad podstawą (ułamek s drogi po krawędzi CS), prawa - wysokość płaszczyzny γ nad tym samym punktem podstawy; M leży w obu, więc są równe
  14. s,tg,45° = (1-s),tg,45°;; s = 1/2
  15. przekrój ostrosłupa na ułamku s wysokości jest kwadratem o boku a(1-s), a MN jest bokiem tego kwadratu
  16. |MN| = 2 · 1/2 = 1
  17. Wysokość trapezu
  18. h = a/2(1-s) 45°
  19. rzut wysokości trapezu na podstawę łączy środek KL z rzutem środka MN i ma długość a/2(1-s), a sama wysokość leży w płaszczyźnie γ nachylonej pod kątem 45°
  20. h = 1/2 √(2)/2 = √(2)/2
  21. Pole trapezu
  22. P = |KL| + |MN| 2 · h
  23. KL i MN to podstawy trapezu, przy czym |KL| = a
  24. P = 2 + 1 2 · √(2)/2 = 3√(2)/4

Odcinek KM o długości √(11)/2 to przekątna trapezu, nie ramię - licząc odległości punktów w przestrzeni łatwo je pomylić (ramiona to LM i NK).

Inne zadania z tego tematu

Wszystkie zadania z tematu Przekroje brył