Oblicz procent zmiany populacji

Liczebność $N$ populacji muszek owocowych hodowanych w laboratorium zmienia się w czasie zgodnie z zależnością wykładniczą

$N (t) = N_{0} \cdot k^{t} dla t \geq 0,$

gdzie $N_{0}$ oznacza liczebność populacji w chwili $t = 0$ rozpoczęcia obserwacji, $k$ jest stałą dodatnią, charakterystyczną dla danego gatunku i warunków przeprowadzenia obserwacji, a $t$ oznacza czas wyrażony w tygodniach, liczony od chwili $t = 0$ rozpoczęcia obserwacji.

W chwili rozpoczęcia obserwacji liczebność populacji była równa $800$ , a po tygodniu była równa $920$ .

Oblicz, o ile procent wzrastała liczebność populacji muszek owocowych hodowanych w laboratorium w ciągu każdego tygodnia.

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: wyznacz $k$ , potem przelicz na procent

Wartość dodatnia oznacza wzrost liczebności populacji, ujemna - jej spadek.
Krok 1. Model wykładniczy
Podstawiamy dane z treści zadania do wzoru ogólnego.
$N (1) = N_{0} \cdot k^{1} \Rightarrow 920 = 800 \cdot k^{1}$
Krok 2. Wyznacz $k$
Izolujemy $k^{1}$ , upraszczamy ułamek i pierwiastkujemy.
$920 = 800 \cdot k^{1}$
dzielimy obie strony przez $N_{0}$ , by wyizolować $k^{1}$
$k^{1} = \frac{920}{800}$
licznik i mianownik dzielimy przez ich największy wspólny dzielnik, równy 40
$k^{1} = \frac{23}{20}$
pierwiastkujemy obie strony stopnia 1, by pozbyć się potęgi
$k = \frac{23}{20}$
Krok 3. Zmiana procentowa
Zmianę procentową liczymy jako $(k - 1) \cdot 100%$ .
$k - 1 = \frac{23}{20} - 1$
jedynkę zapisujemy jako ułamek o mianowniku 20
$k - 1 = \frac{3}{20}$
mnożymy przez $100%$ , by uzyskać zmianę procentową
$(k - 1) \cdot 100% = + 15%$

Najczęstsza pomyłka: podanie wartości $k$ zamiast zmiany procentowej, czyli pominięcie odjęcia $1$ i przemnożenia przez $100%$ .

Inne zadania z tego tematu

Wszystkie zadania z tematu Funkcja wykładnicza

Oblicz procent zmiany populacji

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: wyznacz k, potem przelicz na procent

Inne zadania z tego tematu

Klasyczny: wyznacz $k$ , potem przelicz na procent