Granica ciągu z symbolem Newtona

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: porównanie stopni wielomianów

1. Krok 1. Rozwiń symbol Newtona
2. $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\mathsf{n}+4}{\mathsf{n}-3}\right)$
3. symetria symbolu Newtona: dolny wskaźnik zamieniamy na $(\mathsf{n}+4)-(\mathsf{n}-3)=7$
4. $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\mathsf{n}+4}{7}\right)$
5. iloczyn $7$ kolejnych czynników od $\mathsf{n}+4$ w dół, podzielony przez $7!=5040$
6. $\boxed{\frac{(n+4)(n+3)(n+2)(n+1)n(n-1)(n-2)}{5040}}$
7. po wymnożeniu nawiasów najwyższa potęga to ${\mathsf{n}}^7$ ze współczynnikiem $\frac{1}{5040}$
8. $\frac{1}{5040}{\mathsf{n}}^7+\dots$
9. Krok 2. Porównaj stopnie
10. granicę ilorazu wielomianów rozstrzygają stopnie i współczynniki wiodące
11. $\mathrm{deg}(\text{licznik})=7\mathrm{deg}(\text{mianownik})=7$
12. Krok 3. Stopnie równe
13. ${\lim }_{\mathsf{n}\to +\infty }\frac{\frac{1}{5040}{\mathsf{n}}^7+\dots }{-\frac{1}{3}{\mathsf{n}}^7-8n-1}$
14. przy równych stopniach granica jest ilorazem współczynników wiodących licznika i mianownika
15. $\frac{\frac{1}{5040}}{-\frac{1}{3}}=\boxed{-\frac{1}{1680}}$