Oblicz granicę z sumą ciągu

Rozwiązanie krok po kroku

Sprowadzenie do ilorazu wielomianów

1. Symbol $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\mathsf{n}}{4}\right)$ ma sens dla $\mathsf{n}\ge 4$, co przy $\mathsf{n}\to +\infty$ pomija jedynie skończenie wiele wyrazów początkowych.
2. Wyrażenie pod znakiem granicy
3. $\frac{3\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\mathsf{n}}{4}\right)}{5\left(2+4+6+8+\cdots +(2n+2)\right)}$
4. Suma
5. $\mathsf{S}=2+4+6+8+\cdots +(2n+2)$
6. kolejne wyrazy różnią się o stałą, pierwszy wynosi $2$, ostatni $2n+2$, a wyrazów jest $\mathsf{n}+1$
7. $\mathsf{S}=\frac{2+(2n+2)}{2}\cdot (\mathsf{n}+1)$
8. wzór na sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego
9. $\mathsf{S}=\boxed{(n+1)(n+2)}$
10. Symbol Newtona
11. $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\mathsf{n}}{4}\right)$
12. w liczniku $4$ kolejnych malejących czynników, począwszy od $\mathsf{n}$, w mianowniku $4!$
13. $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\mathsf{n}}{4}\right)=\boxed{\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}}$
14. Iloraz wielomianów
15. $\frac{3\cdot \frac{\mathsf{n}(\mathsf{n}-1)(\mathsf{n}-2)(\mathsf{n}-3)}{24}}{5\cdot (\mathsf{n}+1)(\mathsf{n}+2)}$
16. licznik i mianownik mnożymy przez ich mianowniki, dzielenie przez ułamek zastępujemy mnożeniem przez odwrotność
17. $\boxed{\frac{3n^4-18n^3+33n^2-18n}{120n^2+360n+240}}$
18. Granica
19. stopień licznika $4$, stopień mianownika $2$
20. ${\lim }_{\mathsf{n}\to +\infty }\frac{3{\mathsf{n}}^4-18{\mathsf{n}}^3+33{\mathsf{n}}^2-18n}{120{\mathsf{n}}^2+360n+240}$
21. licznik i mianownik dzielimy przez najwyższą potęgę mianownika, stopień licznika jest wyższy niż mianownika, więc iloraz rośnie nieograniczenie
22. $\boxed{+\infty }$

Odwracając symbol Newtona łatwo pominąć silnię: $\frac{1}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\mathsf{m}}{\mathsf{k}}\right)}=\frac{\mathsf{k}!}{\mathsf{m}(\mathsf{m}-1)\dots }$, a nie $\frac{1}{\mathsf{m}(\mathsf{m}-1)\dots }$.

O granicy ilorazu wielomianów decyduje porównanie stopni: równe stopnie dają iloraz współczynników wiodących, niższy stopień licznika daje $0$, wyższy daje granicę niewłaściwą.