Objętość ostrosłupa wpisanego w sześcian

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: pole podstawy → wysokość → objętość

1. Krok 1. Bryła i dane
2. podstawa: trójkąt $\mathsf{ACD}$ na dolnej ścianie, szczyt $\mathsf{S}$ na krawędzi $\mathsf{DH}$
3. $\text{krawędzˊ }=\mathsf{a},\mathsf{DS}=\frac{3a}{4}$
4. Krok 2. Pole podstawy
5. trójkąt $\mathsf{ACD}$ to połowa kwadratu dolnej ściany, odciętego przekątną
6. $\mathsf{P}=\frac{1}{2}\cdot {\mathsf{a}}^2$
7. przekątna dzieli kwadrat o boku $\mathsf{a}$ na dwa równe trójkąty
8. $\mathsf{P}=\boxed{\frac{a^2}{2}}$
9. Krok 3. Wysokość ostrosłupa
10. krawędź $\mathsf{DH}$ jest prostopadła do dolnej ściany, więc odległość $\mathsf{S}$ od podstawy to długość odcinka $\mathsf{DS}$
11. $\mathsf{H}=\mathsf{DS}=\boxed{\frac{3a}{4}}$
12. Krok 4. Objętość i porównanie
13. wzór ostrosłupa: $\mathsf{V}=\frac{1}{3}\mathsf{P}\cdot \mathsf{H}$
14. $\mathsf{V}=\frac{1}{3}\cdot \frac{{\mathsf{a}}^2}{2}\cdot \frac{3a}{4}$
15. wstawiamy pole podstawy i wysokość z poprzednich kroków
16. $\mathsf{V}=\boxed{\frac{a^3}{8}}$
17. iloczyn trzech czynników po skróceniu
18. $\frac{{\mathsf{a}}^3}{\mathsf{V}}={\mathsf{a}}^3:\frac{{\mathsf{a}}^3}{8}=\boxed{8}$

Najczęstsza pomyłka: przyjęcie pola podstawy ${\mathsf{a}}^2$ (całego kwadratu) zamiast $\frac{{\mathsf{a}}^2}{2}$ - zaniża stosunek dwukrotnie.

Ponieważ $\mathsf{V}=\frac{{\mathsf{a}}^3}{8}$, sześcian jest dokładnie $8$ razy większy od ostrosłupa - stosunek nie zależy od $\mathsf{a}$.