Oblicz granicę z sumą ciągu
Oblicz granicę _ n → +∞ 3 n 4 5≤ft(2 + 4 + 6 + 8 + + (2n+2)) gdzie 2 + 4 + 6 + 8 + + (2n+2) jest sumą kolejnych liczb naturalnych parzystych dodatnich.
Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.
Rozwiązanie krok po kroku
Sprowadzenie do ilorazu wielomianów
- Symbol n 4 ma sens dla n ≥ 4, co przy n → +∞ pomija jedynie skończenie wiele wyrazów początkowych.
- Wyrażenie pod znakiem granicy
- 3 n 4 5≤ft(2 + 4 + 6 + 8 + + (2n+2))
- Suma
- S = 2 + 4 + 6 + 8 + + (2n+2)
- kolejne wyrazy różnią się o stałą, pierwszy wynosi 2, ostatni 2n+2, a wyrazów jest n+1
- S = 2 + (2n+2) /2 · (n+1)
- wzór na sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego
- S = (n+1)(n+2)
- Symbol Newtona
- n 4
- w liczniku 4 kolejnych malejących czynników, począwszy od n, w mianowniku 4!
- n 4 = n(n-1)(n-2)(n-3) / 24
- Iloraz wielomianów
- 3 · n(n-1)(n-2)(n-3)/24/5 · (n+1)(n+2)
- licznik i mianownik mnożymy przez ich mianowniki, dzielenie przez ułamek zastępujemy mnożeniem przez odwrotność
- 3n^4 - 18n^3 + 33n^2 - 18n / 120n^2 + 360n + 240
- Granica
- stopień licznika 4, stopień mianownika 2
- _ n → +∞ 3n^4 - 18n^3 + 33n^2 - 18n / 120n^2 + 360n + 240
- licznik i mianownik dzielimy przez najwyższą potęgę mianownika, stopień licznika jest wyższy niż mianownika, więc iloraz rośnie nieograniczenie
- +∞
Odwracając symbol Newtona łatwo pominąć silnię: 1 m k = k!/m(m-1), a nie 1/m(m-1).
O granicy ilorazu wielomianów decyduje porównanie stopni: równe stopnie dają iloraz współczynników wiodących, niższy stopień licznika daje 0, wyższy daje granicę niewłaściwą.