Objętość ostrosłupa wpisanego w sześcian

Dany jest sześcian ABCDEFGH o krawędzi długości a . Punkt S leży na krawędzi DH tego sześcianu, przy czym DS = 3a 4 . Punkty A , C , D , S są wierzchołkami ostrosłupa trójkątnego (zobacz rysunek). Oblicz, ile razy objętość ostrosłupa ACDS jest mniejsza od objętości sześcianu ABCDEFGH . Zapisz obliczenia.

Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: pole podstawy → wysokość → objętość

  1. Krok 1. Bryła i dane
  2. podstawa: trójkąt ACD na dolnej ścianie, szczyt S na krawędzi DH
  3. krawędź = a, DS = #DFC173 3a 4
  4. Krok 2. Pole podstawy
  5. trójkąt ACD to połowa kwadratu dolnej ściany, odciętego przekątną
  6. P = 1 2 a^2
  7. przekątna dzieli kwadrat o boku a na dwa równe trójkąty
  8. P = a^2 2
  9. Krok 3. Wysokość ostrosłupa
  10. krawędź DH jest prostopadła do dolnej ściany, więc odległość S od podstawy to długość odcinka DS
  11. H = DS = 3a 4
  12. Krok 4. Objętość i porównanie
  13. wzór ostrosłupa: V = 1 3 ,P H
  14. V = 1 3 #E53A3A a^2 2 3a 4
  15. wstawiamy pole podstawy i wysokość z poprzednich kroków
  16. V = a^3 8
  17. iloczyn trzech czynników po skróceniu
  18. a^3 V = a^3 : a^3 8 = 8

Najczęstsza pomyłka: przyjęcie pola podstawy a^2 (całego kwadratu) zamiast a^2 2 - zaniża stosunek dwukrotnie.

Ponieważ V = a^3 8 , sześcian jest dokładnie 8 razy większy od ostrosłupa - stosunek nie zależy od a .