Przybliż rozkład Poissonem

Rozwiązanie krok po kroku

Aproksymacja Poissona z tablic dystrybuanty

1. Model
2. $\mathsf{n}$ duże, $\mathsf{p}$ małe, więc $\mathsf{X}$ ma w przybliżeniu rozkład Poissona
3. $\mathsf{X}\sim \mathsf{B}(150;0,04),\lambda =\mathsf{np}=6$
4. Podpunkt (a)
5. $\mathsf{P}(\mathsf{X}\ge 8)$
6. zdarzenie z treści zapisane przez liczbę $\mathsf{X}$ i policzone w przybliżeniu Poissona
7. $1-\mathsf{F}(7)=1-0,7440$
8. wartości dystrybuanty $\mathsf{F}$ odczytane z tablic rozkładu Poissona
9. $\boxed{0,2560}$
10. Podpunkt (b)
11. $\mathsf{P}(4\le \mathsf{X}\le 11)$
12. prawdopodobieństwo przedziału to różnica wartości dystrybuanty
13. $\mathsf{F}(11)-\mathsf{F}(3)=0,9799-0,1512$
14. wartości $\mathsf{F}$ z tablic rozkładu Poissona
15. $\boxed{0,8287}$
16. Podpunkt (c)
17. $\mathsf{F}(8)=0,8472<0,90$
18. szukamy najmniejszego $\mathsf{m}$ z $\mathsf{F}(\mathsf{m})\ge 0,90$; poziom jeszcze nieosiągnięty
19. $\mathsf{F}(9)=0,9161\ge 0,90$
20. pierwsza wartość spełniająca warunek
21. $\mathsf{m}=\boxed{9}$
22. Podpunkt (d)
23. odchylenie standardowe rozkładu $\mathsf{B}(\mathsf{n};\mathsf{p})$
24. ${\mathsf{D}}^2\mathsf{X}=6\cdot 0,96=\boxed{5,76}$
25. odchylenie standardowe to pierwiastek z wariancji
26. $\sigma (\mathsf{X})=\sqrt{5,76}\approx \boxed{2,400}$

Dla małego $\mathsf{p}$ przybliżenie Poissona jest dokładniejsze niż przybliżenie rozkładem normalnym (twierdzenie de Moivre'a i Laplace'a), które wymaga dużej wartości $\mathsf{npq}$.

Częsta pomyłka: mylenie $\mathsf{P}(\mathsf{X}>\mathsf{k})$ z $\mathsf{P}(\mathsf{X}\ge \mathsf{k})$. Pierwsze to $1-\mathsf{F}(\mathsf{k})$, drugie $1-\mathsf{F}(\mathsf{k}-1)$.