Wielokąt foremny w kole - pole zacieniowane

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: koło minus wielokąt

1. Krok 1. Podział wielokąta na trójkąty
2. środek $\mathsf{S}$ łączymy z wierzchołkami
3. $|\mathsf{SA}|=|\mathsf{SB}|=2,\angle \mathsf{ASB}=\frac{360^{\circ }}{3}=120^{\circ }$
4. Krok 2A. Pole koła
5. ${\mathsf{P}}_{\text{koła}}=\pi {\mathsf{R}}^2=\pi \cdot 2^2$
6. podstawiamy promień koła do wzoru $\pi {\mathsf{R}}^2$
7. ${\mathsf{P}}_{\text{koła}}=\boxed{4\pi }$
8. Krok 2B. Pole wielokąta
9. ${\mathsf{P}}_{△}=\frac{1}{2}{\mathsf{R}}^2\sin 120^{\circ }$
10. pole trójkąta $\mathsf{ASB}$ liczymy z dwóch boków równych $\mathsf{R}$ i sinusa kąta między nimi
11. ${\mathsf{P}}_{△}=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$
12. wielokąt składa się z $3$ przystających trójkątów o wierzchołku $\mathsf{S}$
13. ${\mathsf{P}}_{\text{wielokąta}}=3\cdot \sqrt{3}=\boxed{3\sqrt{3}}$
14. Krok 3. Pole zacieniowanej figury
15. z koła usuwamy wielokąt
16. $\mathsf{P}={\mathsf{P}}_{\text{koła}}-{\mathsf{P}}_{\text{wielokąta}}=\boxed{4\pi -3\sqrt{3}}$