Oblicz punkty wspólne okręgów

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: oś potęgowa i warunek wektorowy

1. Odjęcie równań działa tylko wtedy, gdy w obu współczynniki przy ${\mathsf{x}}^2$ i ${\mathsf{y}}^2$ są równe 1: dopiero wtedy wyrazy z drugimi potęgami redukują się bez śladu.
2. Postać ogólna obu okręgów
3. ${\mathsf{x}}^2+{\mathsf{y}}^2+\mathsf{Dx}+\mathsf{Ey}+\mathsf{F}=0$
4. ${\mathcal{O}}_1:(\mathsf{x}+6{)}^2+(\mathsf{y}+5{)}^2=5$
5. kwadraty dwumianów rozwijamy i przenosimy wszystko na lewą stronę
6. ${\mathcal{O}}_1:{\mathsf{x}}^2+{\mathsf{y}}^2+12x+10y+56=0$
7. drugi okrąg zapisujemy w tej samej postaci
8. ${\mathcal{O}}_2:(\mathsf{x}+12{)}^2+(\mathsf{y}+8{)}^2=50$
9. współczynniki przy pierwszych potęgach to podwojone współrzędne środka ze zmienionym znakiem
10. ${\mathcal{O}}_2:{\mathsf{x}}^2+{\mathsf{y}}^2+24x+16y+158=0$
11. Prosta przez oba punkty wspólne
12. różnica równań obu okręgów
13. $\left({\mathsf{x}}^2+{\mathsf{y}}^2+12x+10y+56\right)-\left({\mathsf{x}}^2+{\mathsf{y}}^2+24x+16y+158\right)=0$
14. wyrazy z drugimi potęgami są w obu równaniach identyczne, więc się redukują i zostaje równanie liniowe
15. $-12x-6y-102=0$
16. dzielimy obie strony przez wspólny czynnik, żeby dostać najprostszą postać równania
17. $\boxed{2x+y+17=0}$
18. Punkty $\mathsf{A}$ i $\mathsf{B}$
19. podstawienie prostej do równania ${\mathcal{O}}_1$
20. $\mathsf{y}=-2x-17$
21. z równania prostej wyznaczamy jedną zmienną i wstawiamy ją do równania pierwszego okręgu
22. $(\mathsf{x}+6{)}^2+{\left(-2x-17+5\right)}^2=5$
23. zostaje równanie kwadratowe z jedną niewiadomą
24. ${\mathsf{x}}^2+12x+35=0$
25. liczymy wyróżnik
26. $\mathsf{\Delta }={\left(12\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(35\right)=\boxed{4}$
27. wyróżnik jest kwadratem liczby całkowitej, więc oba pierwiastki są wymierne
28. $\mathsf{x}=\frac{-12\pm 2}{2}$
29. dwa pierwiastki to współrzędne obu punktów przecięcia
30. $\mathsf{x}=-5\text{lub}\mathsf{x}=-7$
31. każdą wartość wstawiamy do równania prostej i dostajemy drugą współrzędną; punktem A jest ten, który ma pierwszą współrzędną większą niż punkt B
32. $\mathsf{A}=\boxed{\left(-5,-7\right)}\mathsf{B}=\boxed{\left(-7,-3\right)}$
33. Punkt $\mathsf{M}$ z warunku wektorowego
34. $\overrightarrow{\mathsf{BM}}=3\cdot \overrightarrow{\mathsf{AM}}$
35. warunek z treści zapisujemy przez same punkty, bo wektor to różnica końca i początku
36. $\mathsf{M}-\mathsf{B}=3\cdot \left(\mathsf{M}-\mathsf{A}\right)$
37. wyrazy z M zbieramy po jednej stronie i dzielimy przez współczynnik, który przy nich powstał
38. $\mathsf{M}=\frac{-\mathsf{B}+3A}{2}$
39. obie współrzędne liczymy osobno tym samym wzorem
40. $\mathsf{M}=\boxed{\left(-4,-9\right)}$

<strong>Zamiana punktów $\mathsf{A}$ i $\mathsf{B}$.</strong> Kryterium z treści rozstrzyga, który punkt przecięcia jest $\mathsf{A}$ (tutaj: pierwszą współrzędną większą niż punkt $\mathsf{B}$). Wzór na $\mathsf{M}$ nie jest symetryczny, więc pomylenie punktów daje inny punkt $\mathsf{M}$.<br><br><strong>Brak podzielenia przez wspólny czynnik</strong> po odjęciu równań. Równanie $-12x-6y-102=0$ opisuje tę samą prostą, ale w kluczu oczekiwana jest postać skrócona $2x+\mathsf{y}+17=0$.