Wyznacz wielomian ze stycznej

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: styczna z dwóch punktów

1. Dane
2. punkt styczności i punkt przecięcia
3. $\mathsf{A}=(3,-4)\mathsf{P}=(-3,8)$
4. Wzór stycznej
5. $\mathsf{m}=\frac{8-(-4)}{(-3)-3}$
6. oba punkty leżą na stycznej, więc jej współczynnik kierunkowy to iloraz różnic współrzędnych
7. $\mathsf{m}=\frac{12}{-6}=\boxed{-2}$
8. styczna przechodzi przez punkt $\mathsf{A}$, więc wystarczy postać kierunkowa z tym punktem
9. $\mathsf{t}(\mathsf{x})=\boxed{-2(x-3)-4}$
10. Rozkład różnicy
11. $\mathsf{f}(\mathsf{x})-\mathsf{t}(\mathsf{x})=(\mathsf{x}-{\mathsf{x}}_{\mathsf{A}}{)}^2(\mathsf{x}-{\mathsf{x}}_{\mathsf{P}})$
12. styczność w punkcie $\mathsf{A}$ daje pierwiastek podwójny, przecięcie w punkcie $\mathsf{P}$ pierwiastek pojedynczy, a współczynnik przy ${\mathsf{x}}^3$ nie zmienia się po odjęciu funkcji liniowej
13. $\mathsf{f}(\mathsf{x})-\mathsf{t}(\mathsf{x})=\boxed{(x-3{)}^2(x+3)}$
14. Wzór wielomianu
15. $\mathsf{f}(\mathsf{x})=(\mathsf{x}-3{)}^2(\mathsf{x}+3)-2(\mathsf{x}-3)-4$
16. do rozkładu różnicy wracamy z dodanym wzorem stycznej
17. $\mathsf{f}(\mathsf{x})={\mathsf{x}}^3-3{\mathsf{x}}^2-9x+27-2(\mathsf{x}-3)-4$
18. styczna zmienia tylko współczynnik przy $\mathsf{x}$ oraz wyraz wolny
19. $\mathsf{f}(\mathsf{x})=\boxed{{\mathbf{x}}^3-3{\mathbf{x}}^2-11x+29}$

Sprawdzenie: $\mathsf{f}(3)=-4$, ${\mathsf{f}}^{\prime }(3)=-2$ oraz $\mathsf{f}(-3)=8$.