Wyznacz styczną i ekstrema

Rozwiązanie krok po kroku

Pochodna ilorazu, styczna i znak pochodnej

1. Dane
2. $\mathsf{f}(\mathsf{x})=\frac{3{\mathsf{x}}^2+11x+8}{\mathsf{x}+2},\mathsf{x}\ne -2,{\mathsf{x}}_{\mathsf{P}}=2$
3. Druga współrzędna P
4. ${\mathsf{y}}_{\mathsf{P}}=\mathsf{f}(2)=\frac{3\cdot 2^2+11\cdot 2+8}{2+2}$
5. Podstawiamy pierwszą współrzędną punktu P do wzoru funkcji.
6. ${\mathsf{y}}_{\mathsf{P}}=\frac{42}{4}$
7. Licznik dzielimy przez mianownik.
8. ${\mathsf{y}}_{\mathsf{P}}=\boxed{\frac{21}{2}}$
9. Pochodna funkcji
10. ${\mathsf{f}}^{\prime }(\mathsf{x})=\frac{(6x+11)\cdot (\mathsf{x}+2)-(3{\mathsf{x}}^2+11x+8)\cdot 1}{(\mathsf{x}+2{)}^2}$
11. Pochodna ilorazu: pochodna licznika razy mianownik minus licznik razy pochodna mianownika, całość przez kwadrat mianownika. Pochodna mianownika jest równa 1.
12. ${\mathsf{f}}^{\prime }(\mathsf{x})=\frac{6{\mathsf{x}}^2+23x+22-(3{\mathsf{x}}^2+11x+8)}{(\mathsf{x}+2{)}^2}$
13. Odejmujemy licznik funkcji i redukujemy wyrazy podobne.
14. ${\mathsf{f}}^{\prime }(\mathsf{x})=\boxed{\frac{3x^2+12x+14}{(x+2{)}^2}}$
15. Styczna w punkcie P
16. $\mathsf{a}={\mathsf{f}}^{\prime }(2)=\frac{3\cdot 2^2+12\cdot 2+14}{(2+2{)}^2}$
17. Współczynnik kierunkowy stycznej jest wartością pochodnej w punkcie styczności.
18. $\mathsf{a}=\frac{50}{16}=\boxed{\frac{25}{8}}$
19. Styczna przechodzi przez punkt P, więc jego współrzędne spełniają równanie y = ax + b.
20. $\mathsf{b}=\frac{21}{2}-\frac{25}{8}\cdot 2=\boxed{\frac{17}{4}}$
21. Obliczone współczynniki wstawiamy do równania prostej.
22. $\mathsf{y}=\frac{25}{8}\mathsf{x}+\frac{17}{4}$
23. Równanie f′(x) = 0
24. $3{\mathsf{x}}^2+12x+14=0⟺3(\mathsf{x}+2{)}^2=-2⟺(\mathsf{x}+2{)}^2=-\frac{2}{3}$
25. Ułamek jest równy zeru, gdy jego licznik jest równy zeru. Kwadrat liczby rzeczywistej nie jest ujemny, a prawa strona jest ujemna.
26. $\boxed{\text{brak rozwiązanˊ}}$
27. Znak pochodnej
28. ${\mathsf{f}}^{\prime }(\mathsf{x})=\frac{3(\mathsf{x}+2{)}^2+2}{(\mathsf{x}+2{)}^2}$
29. Oba składniki licznika mają ten sam znak, a mianownik jest dodatni.
30. ${\mathsf{f}}^{\prime }(\mathsf{x})>0\text{dla kaz˙dego}\mathsf{x}\ne -2$
31. Pochodna nie zmienia znaku, więc funkcja jest monotoniczna w każdym z dwóch przedziałów dziedziny.
32. $\boxed{\text{brak ekstremoˊw}}$
33. Odpowiedź
34. $\boxed{\mathbf{a}=\frac{25}{8},\mathbf{b}=\frac{17}{4};\text{brak ekstremoˊw}}$

Liczenie pochodnej ilorazu jako <strong>ilorazu pochodnych</strong>: $\frac{(3{\mathsf{x}}^2+11x+8{)}^{\prime }}{(\mathsf{x}+2{)}^{\prime }}=6x+11$ nie jest pochodną funkcji $\mathsf{f}$.